贝尔曼和庞特里亚金等倡导从变化后的频域回到时域，用状态空间表达式建立线性非线性定常时变系统的动态数学模型，并提出与经典控制理论频域法不同的状态反馈和最优控制方法，即现代控制理论。在控制理论发展的过程中，理论的正确性及在实际应用中的可行性需要个按其理论设计的控制器去控制个典型对象来验证。倒立摆就是这样个被控制对象。倒立摆不仅仅是种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。倒立摆系统在控制理论研究中是种较为理想的实验装置。本文通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。，关键字单倒置摆系统观测器二主题背景单倒置摆系统的原理图，如图所示。设有倒立摆摆杆和其上的摆锤用铰链安装在由伺服电机驱动的小车上，其控制控制目标是当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。设摆的长度为质量为，安装在质量为的小车上。小车由台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力相对参考系产生位移。若不给小车施加控制力，则倒置摆就不能保持在垂直位置而会向左或向右倾倒。图图为简化问题，工程上往往忽略些次要因素。这里，忽略摆杆质量执行电动机惯性以及摆轴轮轴轮与接触面之间的摩擦及风力。为小车水平方向的瞬时位置坐标，摆杆偏离垂线的角度，则摆锤重心的水平垂直坐标分别为，。图所示为摆杆摆锤联合体及小车受力图，其中分别为小车通过铰链作用于摆杆的力的水平垂直分量及对应的分作用力。因忽略摆杆的质量，则摆杆摆锤联合体重心近似于摆锤中心，且摆杆摆锤联合体围绕其重心的转动惯量摆杆摆锤联合体的运动分解为重心的水平运动重心的垂直运动及绕重心的转动这三个运动，其中在控制力的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力平衡，则有小车的水平运动方程为将式带入到式得将式式带入到式得式是为描述车载倒立摆系统运动的非线性方程，为简化求解，需对其作近似线性化处理。当很小时，用，可将式及式近似线性化为式及式是在假设很小的条件下，所建立的描述图车载倒立摆系统运动的近似线性模型。由于控制目标含有保持倒立摆垂直的要求，在施加水平控制力的条件下，假设很小是合理的。联立式及式并消去得联立式及式并消去得定义状态变量为以小车位置作为系统输出且由式可列写出图车载倒立摆系统的状态空间表达式为式中假定系统参数则状态方程中参数矩阵为，，三被控系统的结构性质能控性稳定性能观性能控性分析由特征方程，解得特征值为，，故被控系统不稳定。根据能控性的秩判据，并把式数值代入该判据，可得，故被控系统状态完全能控，既当非零时，总存在将转移至零的控制作用。稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程解得特征值为，。个特征值中存在个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统是不稳定的，须对被控系统进行反馈综合，使个特征值全部位于根平面左半边的适当位置，以满足系统稳定工作并达到良好动静态性能的要求。由能观性判别阵的秩故被控系统状态完全能观，即可构建状态观测器对其状态给去估值。四反馈控制系统设计为实现即使倒立摆稳定又控制小车位置的控制任务，采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统，如下图因为被控系统能控，又控制维数不少于误差的维数且。即增广系统状态完全能控，因此，可采用线性状态反馈控制律改善系统的动态和稳态性能，式中，。则由式，图所示闭环控制系统的特征多项式为设期望闭环极点为对共轭主导极点和个非主导实数极点。应从使所设计的控制系统具有适当的响应速度和阻尼出发选取期望主导极点对，若本例希望在小车的阶跃响应中，调节时间约为，超调量不超过，据经典控制理论中二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式，则期望的闭环主导极点对可选为选择个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的倍以上取为，即则期望的闭环特征多项式为令式相等，并比较等式两边对应项的系数，联立方程求解得状态反馈增益矩阵和积分增益常数所设计的反馈控制系统阶跃响应仿真分析确定了状态反馈增益矩阵和积分增益常数，有式，在未考虑扰动作用时，闭环系统对给定输入为阶跃信号的响应可通过求解下式获得，即式中，。为求解所设计的反馈控制系统阶跃响应的程序。注意，在程序中用符号分别表示式的系统矩阵输入矩阵输出矩阵传递矩阵，用符号表示由式中的和构成的状态向量。的程序如下下图展示为阶跃响应仿真曲线。的阶跃响应仿真曲线表明趋于给定输入，即当给定输入为阶跃信号时，小车的位置无稳态误差，而且其动态性能正如希望，由此可见，小车的位置能比较好的跟踪慢变的给定输入。而，可见，全状态反馈保证了系统稳定。但图采用直接状态反馈，需要设置测量状态变量的个传感器。实际上，由于被控系统能观，因此，可构造状态观测实现全状态反馈的单倒立摆无静差位置跟踪系统设计。五全维状态观测器设计由设计状态观测实现全维状态观测器，假定系统参数则状态方程中参数矩阵为，，由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程解得特征值为，由能观测秩判据，并把上式的有关数值代入该判据，得故被控系统的个状态均是可观测的。这意味着，其状态可由全维四维状态观测器给出估值。由全维状态观测器的动态方程为式中全维状态观测器以配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。全维状态观测器的特征多项式为状态观测器的希望闭环极点为比状态反馈系统的希望闭环极点离虚轴较远，则期望特征多项式为令式与式同同次项的系数相等，可求得，，，用全维状态观测器实现状态反馈的结构图如图所示。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为，这意味着任状态变量估值误差至少以规律衰减。的程序如下代码系统能观系统不能观结果代码的微分的微分的微分结果其仿真结果图形为六降维观测器设计由于本系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而实际中无需估计，可以设计将唯状态观测器。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由将唯状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分离开，也就是说，将作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为简记为式中，，，，被控系统的维子系统的动态方程般形式为，式中，为子系统输出量。故单倒置摆三维子系统动态方程为对该子系统的可观测性进行检查，结果仍可观测。降维状态观测器动态方程的般形式为ˆ式中，。考虑被控对象参数，单倒置摆降维观测器动态方程的般形式为ˆ降维状态观测器特征多项式为设希望的观测器闭环极点为，，则期望特征多项式为令式与式同次项的系数相等，可求得，，故所求的降维状态观测器的动态方程为ˆˆ用降维状态观测器实现状态反馈的单倒置摆系统结构图所示。该降维状态观测器将连续地提供状态向量估值，其估值误差至少以规律衰减。的程序如下代码系统能控