为，读作根号，叫被开方数的算术平方根是平方根的性质任何个正数的平方根有两个，它们互为相反数如正数的平方根是，其中与恰是对相反数零的平方根是零，即负数没有平方根平方根的表示正数的算术平方根用表示正数的负的平方根用表示正数的平方根用符号表示开平方求个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算平方根重要性质时用计算器求个数的算术平方根有的计算器上有键，就可以使用这个键直接求出个数的算术平方根二重难点知识归纳由算术平方根的定义得到个非负数的算术平方根可记作，它是非负数，就是说，当有意义时，它定表示个非负数，故具有双重非负性是算术平方根的专有记号，它有两重意义表示求根号内的非负数的算术平方根，是运算符号求的算术平方根，其思维方式与乘方是逆向的，即要这样想，什么非负数的平方等于求个数的平方根，实质上是已知指数和幂，求底数这种求底数的运算是乘方运算的种逆运算因为只要个数的平方等于，那以这个数的相反数的平方也定等于，所以正数有两个平方根弄清的意义弄清表示非负数，即，表示的算术平方根表示的算术平方根的相反数，也可以说是表示的负的平方根表示的平方根，即的平方根为用计算器求个数的算术平方根，如果被开方数不是完全平方数，如果所求得的算术平方根是它的近似值，此时应根据题目的要求进行四舍五入根据计算器的类型，掌握不同的按键顺序平方根与算术平方根的区别及联系区别定义不同如果个数的平方等于，这个数就叫做的平方根非负数的非负平方根叫做的算术平方根个数不同个正数有两个平方根，而个正数的算术平方根只有个表示方法不同正数的平方根表示为，正数的算术平方根表示为取值范围不同正数的算术平方根定是正数正数的平方根则正负，两数互为相反数联系具有包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的种。

存在条件相同平方根和算术平方根都只有非负数才有。

的平方根算术平方根均为三典型例题剖析例求下列各式的值例已知，求的值已知为实数求的平方根例已知的三边长分别为，且，满足，求的取值范围例小颖想用块面积为的纸片，沿着边的方向裁出块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为︰，你能否裁出来解设长方形的长和宽分别为和，根据边长与面积的关系，得，已知正方形的纸片的边长只有，长方形的纸片的长大于正方形的纸片长，故不能裁出来例已知，求的个位数字例已知求的值若，求的值若，求的值立方根实数与数轴周知识概述立方根如果个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，即如果，则叫做的立方根，记作立方根的性质正数有个正的立方根，负数有个负的立方根，的立方根是即时，时，时，因此，求负数的立方根，可以转化为求其相反数的立方根若个数的小数点向左或向右移动位，则它的立方根的小数点向左或向右移动位开立方求个数的立方根的运算叫做开立方开立方与立方互为逆运算用计算器求个数的算术平方根或立方根有的计算器上有键和，就可以使用这个键直接求出个数的算术平方根或立方根实数的概念及其分类定义有理数和无理数统称为实数实数的分类按定义分类按大小分类实数和数轴上点的对应关系实数和数轴上的点是对应的关系，即数轴上的每个点都表示个实数，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点实数大小的比较切正数都大于零切负数都小于零切正数大于切负数两个负数比较，绝对值大的反而小即绝对值大的负数绝对值小的负数零正数在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大二重难点知识剖析立方根与平方根的联系及区别两者联系都与相应的乘方运算互为逆运算。

开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算在研究被开方数和方根的关系时，都有类似小数点的移动规律零的立方根和平方根都是它本身两者区别在用符号表示平方根时，根指数可省略，而用符号表示立方根时，根指数不能省略只有非负数才有平方根，而任何数都有立方根正数的平方根有两个，而正数的立方根只有个被开方数的小数点移动两位时，平方根的小数点向相同方向移动位被开方数的小数点移动三位时，立方根的小数点向相同方向移动位无限不循环小数叫做无理数，包括以下几类开方开不尽的数，如有特定意义的数，如及含的数无限不循环小数，如等无理数的特征无理数的小数部分位数不限无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式实数中的几个概念相反数与互为相反数，的相反数是注意两个相反数之和等于倒数若≠，则与互为倒数说明两个互为倒数的数之积等于绝对值正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，即实数与数轴上的点对应每个实数都可以用数轴上的点来表示数轴上的每个点都表示个实数实数大小的比较切正数都大于零切负数都小于零切正数大于切负数两个负数比较，绝对值大的反而小即绝对值大的负数绝对值小的负数零正数在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大用计算器求个正数的平方根或求立方根时，应注意精确度，或根据精确度取近似数实数的运算在实数范围内可以进行加减乘除不能作除数乘方运算正数和可以进行开任意次方如开平方开立方等运算，负数不能开偶次方如负数不能开平方运算注意无理数不都是带根号的数，如，带根号的数不都是无理数，只有那些开不尽的方根属于无理数，开得尽的方根是有理数如等是无理数，而等是有理数关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立，但要注意正数和零可以进行开平方开立方运算，但负数能开立方运算，却不能开平方运算三例题讲解例计算例已知是的立方根且，求的立方根例把下列各数分别填入适当的集合里自然数集合整数集合分数集合正数集合无理数集合实数集合例求下列各式中的的值例利用方程的知识把化成分数的形式幂的运算整式的乘法周知识概述幂的运算同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即都是正整数幂的乘方底数不变，指数相乘即都是正整数积的乘方把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即同底数幂的除法同底数幂相除底数不变指数相减。

即≠，都是正整数且整式的乘法单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的个因式单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每项，再把所得的积相加多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用个多项式的每项分别乘以另个多项式的每项，再把所得的积相加，即幂的运算法则的逆向应用，为正整数二重难点知识归纳同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方和同底数幂相除均是由乘方的意义推演而得，掌握法则的关键是正确理解幂的概念单项式的乘法是整式乘法的关键，逆用幂的运算法则和多项式乘法的应用是难点三典型例题剖析例下列计算是否正确，错的请指出错因，并加以改正例比较已知求的值已知，求之间的关系例计算例已知求代数式例计算例计算例若的乘积中不含和项，求的值乘法公式周知识概述平方差公式由多项式乘法得到即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

注意平方差公式的特征左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有项完全相同，另项互为相反数右边是乘式两项的平方差，并且是完全相同的项的平方减去互为相反数项的平方运用公式时除了掌握其结构特征外，还应注意如下几点公式中的，具有广泛的含义，可以表示个数个字母，个单项式，还可以表示个多项式运用公式时关键是识别两个数，哪个是完全相同的，哪个是互为相反数平方差在简便运算中的应用当问题中的两因数不是两数和与两数差的积的形式时，可适当变形，使之符合公式的特点，从而能运用公式达到巧算的目的完全平方公式由多项式乘法得到即两数和或差的平方，等于它们的平方和，加或减它们的积的倍推广形式注意完全平方公式的结构特征公式的左是两个相同的二项式相乘，即两个数和或差的平方公式的右边是个三项式，其中两项是左边的二项的平方和，第三项是左边两项的积的倍，但符号与左边的符号相同公式中的字母具有般性，它可以表示数也可以表示多项式乘法公式的主要变式熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程注意公式中的，既可以表示单项式，也可以表示多项式乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜二重难点知识归纳平方差公式完全平方公式均为重点，而公式法则的运用是难点三典型例题剖析分清，正确运用例计算例计算例计算例计算例计算例已知求的值例计算下列各题例计算化简整式的除法周知识概述单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的个因式多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每项除以这个单项式，再把所得的商相加整式乘除法的比较跟整式的乘法样，整式的除法关键是掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除为此，不妨将二者进行归纳比较运算同底数幂单项式相乘底数不变，指数相加把它们的系数相同字母分别相乘，对只在个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的个因式相除底数不变，指数相减把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的个因式二重难点知识归纳以同底数幂的除法，幂的运算法则的综合应用以及单项式除以单项式，多项式除以单项式为重点以整式的综合运算为难点三典型例题剖析例计算例计算例完成下列各题已知求的值已知求的值已知求的值例化简求值因式分解周知识概述因式分解的意义把个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解总结因式分解是多项式的种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变形分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式分解因式都是在指定的数集内进行如无特殊说明，般指有理数，其结果要使每个因式不能再分解为止提公