另作讨论例求由方程确定的函数,的极值解将方程两边分别对,求偏导但不是极值点则,在点,处是否取得极值的条件如下时具有极值，当时有极大值，当时有极小值时没有极值的驻点，定理充分条件设函数,在点,的邻域内连续，有阶及二阶连续偏导数乘数法升元法求,下的极值在条件,其几何意义是上求代入原方程,将解出，其中,就是可能的极值点的定点,为条件极值点在,的个邻域内连续,且不同时为,可微不即又由隐函数的微分法知点在曲线使或其中点,在曲线上假,得,为条件极值点的必要条件为,格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况要找函数,在条件,代入上式令其中,均为常数，可由偏导数为零及条件解出即得椭球且各面平行于坐标面的长方体在第卦限的顶点的坐标为则长方体的体积为下的极值，先构造函数,即又由隐函数的微分法知点在曲线使或其中点,在曲线上假,的极值解将方程两边分别对,求偏导为解三作变换问题变成在下求的最大值易知为立为内接于椭圆边平行于,轴的长方形当长方形的边长分别为,元函数极值问题长方形面积最大得到高为的长方体中最大体积为函数的极值和最值二元函数极值的定义设函数,在点,的邻域内有定义，对于该邻域内异于,的点,若满足不等式，则称函数在,有极大值为解三作变换问题变成在下求的最大值易知为立方体的图形观察二元函数多元函数极值多元函数的极值和最值二元函数极值的定义设函数,在点,的邻域内有定义，对于该邻域内异于,的点,若满足不等式，则称函数在,有极大值若满足不等式，则称函数在,有极小值极大值极小值统称为极值使函数最大这时长方体在第卦限的顶点的坐标为解三作变换问题变成在下求的最大值易知为立为内接于椭圆边平行于,轴的长方形当长方形的边长分别为,元函数极值问题长方形面积最大得到高为的长方体中最大体积为同理即代入解得三式相加得解二任意固定先在所有高为的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面令解得或两式相除同理即代入解得三式相加得解二任意固定先在所有高为的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面同理即代入解得三式相加得解二任意固定先在所有高为的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面同理即代入解得三式相加得解二任意固定先在所有高为的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆边平行于,轴的长方形当长方形的边长分别为,元函数极值问题长方形面积最大得到高为的长方体中最大体积为最大这时长方体在第卦限的顶点的坐标为解三作变换问题变成在下求的最大值易知为立方体的图形观察二元函数多元函数极值多元函数的极值和最值二元函数极值的定义设函数,在点,的邻域内有定义，对于该邻域内异于,的点,若满足不等式，则称函数在,有极大值若满足不等式，则称函数在,有极小值极大值极小值统称为极值使函数最大这时长方体在第卦限的顶点的坐标为解三作变换问题变成在下求的最大值易知为立为内接于椭圆边平行于,轴的长方形当长方形的边长分别为,元函数极值问题长方形面积最大得到高为的长方体中最大体积为同理即代入解得三式相加得解二任意固定先在所有高为的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面令解得或两式相除值点的坐标例求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第卦限的顶点的坐标为则长方体的体积为下的极值，先构造函数其中,均为常数，可由偏导数为零及条件解出即得极,无条件极值点条件极值点拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况要找函数,在条件,代入上式令得,为条件极值点的必要条件为,设,于是确定了个隐函数故,在,处取得极值故即又由隐函数的微分法知点在曲线使或其中点,在曲线上假定点,为条件极值点在,的个邻域内连续,且不同时为,可微不妨手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的般方法是乘数法升元法求,下的极值在条件,其几何意义是上求代入原方程,将解出，其中,就是可能的极值点的坐标些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的由函数取极值的必要条件知,驻点为,,将上方程组再分别对,求偏导数故,将,时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论例求由方程确定的函数,的极值解将方程两边分别对,求偏导但不是极值点则,在点,处是否取得极值的条件如下时具有极值，当时有极大值，当时有极小值时没有极值的驻点，定理充分条件设函数,在点,的邻域内连续，有阶及二阶连续偏导数，问题如何判定个驻点是否为极值点又,，令,有极值的必要条件为,,仿照元函数，凡能使阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点注意驻点极值点例如,点,是函数的,有极值的必要条件为,,仿照元函数，凡能使阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点注意驻点极值点例如,点,是函数的驻点，定理充分条件设函数,在点,的邻域内连续，有阶及二阶连续偏导数，问题如何判定个驻点是否为极值点又,，令但不是极值点则,在点,处是否取得极值的条件如下时具有极值，当时有极大值，当时有极小值时没有极值时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论例求由方程确定的函数,的极值解将方程两边分别对,求偏导由函数取极值的必要条件知,驻点为,,将上方程组再分别对,求偏导数故,将,代入原方程,将解出，其中,就是可能的极值点的坐标些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的般方法是乘数法升元法求,下的极值在条件,其几何意义是上求点在曲线使或其中点,在曲线上假定点,为条件极值点在,的个邻域内连续,且不同时为,可微不妨设,于是确定了个隐函数故,在,处取得极值故即又由隐函数的微分法知代入上式令得,为条件极值点的必要条件为,,无条件极值点条件极值点拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况要找函数,在条件,下的极值，先构造函数其中,均为常数，可由偏导数为零及条件解出即得极值点的坐标例求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第卦限的顶点的坐标为则长方体的体积为令解得或两式相除同理即代入解得三式相加得解二任意固定先在所有高为的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆边平行于,轴的长方形当长方形的边长分别为,元函数极值问题长方形面积最大得到高为的长方体中最大体积为最大这时长方体在第卦限的顶点的坐标为解三作变换问题变成在下求的最大值易知为立方体的图形观察二元函数多元函数极值多元函数的极值和最值二元函数极值的定义设函数,在点,的邻域内有定义，对于该邻域内异于,的点,若满足不等式，则称函数在,有极大值若满足不等式，则称函数在,有极小值极大值极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点处有极小值在函数,处有极大值在函数,处无极值在函数,多元函数取得极值的条件定理必要条件设函数,在点,具有偏导数，且在点,处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,证不妨设,在点,处有极大值,则对于,的邻域内任意都有,故当，时，有,说明元函数,在处有极大值,必有,类似地可证,推广如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为,,仿照元函数，凡能使阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点注意驻点极值点例如,点,是函数的驻点，定理充分条件设函数,在点,的邻域内连续，有阶及二阶连续偏导数，问题如何判定个驻点是否为极值点又,，令但不是极值点则,在点,处是否取得极值的条件如下时具有极值，当时有极大值，当时有极小值时没有极值时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论例求由方程确定的函数,的极值解将方程两边分别对,求偏导由函数取极值的必要条件知,驻点为,,将上方程组再分别对,求偏导数故,将,代入原方程,将,代入原方程,有,,当时，,所以,为极小值当时，,所以,为极大值求函数,极值的般步骤第步解方程组,求出实数解，得驻点第二步对于每个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号，再判定是否是极值多元函数的最值与元函数相类似，我们可的驻点，定理充分条件设函数,在点,的邻域内连续，有阶及二阶连续偏导数，问题如何判定个驻点是否为极值点又,，令时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论例求由方程确定的函数,的极值解将方程两边分别对,求偏导代入原方程,将解出，其中,就是可能的极值点的坐标些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的点在曲线使或其中点,在曲线上假定点,为条件极值点在,的个邻域内连续,且不同时为,可微不妨代入上式令得,