1、式子和式子，同时对比时，式子和式子，服从如下代数方程组设置𝑋𝑀−𝜆𝑥𝑀−𝐾𝑀−𝐾𝑀𝑋𝑀−𝜆𝑥𝑀𝑥𝑀𝑋𝑀−𝜆，𝑥𝑀−𝑘𝑀−𝑋𝛼𝜆𝑎𝑎𝑀，𝑥𝑀𝑋𝑀−𝜆𝑥𝑀𝑋𝑀−𝜆，𝑥𝑀−𝑘𝑀−𝑋𝑏𝜆𝑎𝑎𝑀，𝑥𝑀𝑋𝑀−𝜆，𝑥𝑀−ℎ𝑀𝑋𝛼𝜆𝑎𝑎𝑀𝑥𝑀ℎ𝑀𝑋𝑏𝜆𝑎𝑎𝑀𝑥𝑀因此，式子同辉满足，式子中是常数，取决于条件，𝜆是除以外任意实数通常，圆柱大于，满足超越方程和。然而，式子表示非稳态热传导问题特征条件，可计算相应特征值𝜆𝑚𝑚，。事实上，时，把式子带入式子中，结果，式子并没有给出与特征值相关有用信息。因此，存在很多如式子形式解，与连续特征值相对应，𝜆⋯⋯𝑚以及𝑋.𝑚𝛾可以有式子很容易得到，设或或，𝜉等于𝛾或𝛾。时，观察式子和，式子中无量纲参数𝑐𝑚𝑐𝑚𝜃可通过下述。
2、，方程.写成现在，将式子,带入式子.右侧第重积分，得到鉴于式子前面提到.，式子.变为然后，将方程.代入方程.，确定如下形式最终结果后种用来解决固有范数积分方法被认为是由函数，和，得出结果，在这里，是被积函数。之所以这样做是因为让方程.里会使函数，容易积分。事实上，我们有比较方程.和.能够得出如下结果把方程.代入方程.或.，由于积分对范数是固有，我们能够获得表达式，这对于矩形，圆柱形和球形图层复合体来说是有效。，𝛼𝑖不同，由于热扩散在各个分离层之间并不连续，因此它们是确保内部边界条件和得到验证基础。事实上，这些关系最初来自表。式子中给定函数𝛷𝑖和𝑋𝑖𝑖𝑀为𝛷𝜆𝛷𝑖𝜆𝜆𝑖𝛷𝑖,𝑖−，𝛷𝑖−,𝑖−𝛷𝑖𝑋𝑖𝜆𝜆𝑖𝑥𝜆𝜆𝑖𝑖𝑋𝑏𝜆𝑖𝑥𝑥𝑖𝑀，函数𝛷𝑖，𝑖−𝑖𝑀出现在式子中，定义为𝛷𝑖,𝑖−𝜆𝜆𝑖𝑋𝑖𝜆𝜆𝑖−𝑥�。
3、赖于相应热扩散率，所以，问题解析结果与瞬态热传导过程物理事实保持致。公式给出自然分离产生从到通用型微分方程。𝑑𝐺𝑖𝑑𝑡𝜆𝑖𝛼𝑖𝐺𝑖𝑥𝑞𝑑𝑑𝑥𝑥𝑞𝑑𝑋𝑖𝑑𝑥𝜆𝑖𝑋𝑖,𝑥𝑥𝑖𝑀可过公式解时间变量函数，得𝐺𝑖𝑡𝑒−𝜆𝑖𝛼𝑖𝑡，𝑀空间变量函数解则是通过解方程得到，方程只取决于空间坐标，可以表示成𝑋𝑖𝑥𝛼𝑖𝑋𝛼𝜆𝑖𝑥，𝑥𝑥𝑖𝑀𝑥和𝑋𝑏𝜆𝑖，𝑥是式子两个线性不相关解，𝛼𝑖和𝑏𝑖是与第层复合介质相关整合常数。表表示矩形圆柱和球形复合层函数𝑋𝛼𝜆𝑖，𝑥和𝑋𝑏𝜆𝑖，𝑥。边界条件应用根据条件，解𝜃𝑖𝑥，满足边界条件，得到如下结果𝑋𝑖𝑥𝛼𝛷𝑖𝜆𝜆𝑖𝑥𝑥𝑖𝑀，𝑀公式约束了离散常数𝑘𝑖和热扩散效率𝛼𝑖，复合介质不同区域，𝛼𝑖不同，由于热扩散在各个分。
4、层平板处于理想化热接触条件，如图所示，𝑘𝑖和𝑎𝑖分别是第层热传到效率和热扩散效率初始体，限制其变化范围𝑥𝑥𝑀,具有特定温度。时刻，固体复合材料两界面受到对流热通量作用，温度为𝑇，传热系数为ℎ流体流经𝑥外表面，另有具有相同温度𝑇，传热系数为ℎ𝑀流体流经另外边外表面𝑥𝑀。非稳态热传导过程数学建模假设自身不产热。热性能，如传导率扩散率等，与温度无关，且层板材中层内均匀。介质周围，流体温度为𝑇，空间均匀，且时间时保持恒定。层叠板在向和向相对于厚度方向局游戏足够大尺寸。热转换效率ℎ和ℎ𝑀均匀恒定。因此，热传导问题可认为是线性维均匀。设𝜃𝑖𝑥，𝑡𝑇−𝑇𝑖𝑥𝑀，最终，通过整合系统如矩形，圆柱或球形系统数学公式可以表示为∙热传导差分方程𝑥𝑞𝜕𝜕𝑥𝑥𝑞𝜕𝜃𝑖𝜕𝑥𝛼𝑖𝜕𝜃𝑖𝜕𝑡𝑥𝑥𝑖𝑀分别代表平板圆柱球体∙外部边界条件𝑥−𝑘𝜕𝜃𝜕�。
5、子中和式子求得，而给定函数𝑖𝑀𝑖，直接出现在式子中，并以𝑋𝑖形式间接出现在式子和中，该函数表示为𝜆−ℎ𝑋𝛼𝜆，𝑥−𝑘𝑋𝛼𝜆，𝑥ℎ𝑋𝑏𝜆，𝑥−𝑘𝑋𝑏𝜆𝑎𝜆𝜆𝑖𝐼−𝑘𝑖𝑋𝛼𝜆𝑖，𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆𝜆𝑖−，𝑥𝑖−𝑘𝑖−𝑋𝛼𝜆𝑖，𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆𝜆𝑖−𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆𝜆𝑖−，𝑥𝑖−𝑘𝑖−𝑋𝑏𝜆𝑖，𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆𝜆𝑖−𝑏𝜆𝑀𝑀−ℎ𝑀𝑋𝛼𝜆𝑀𝑥𝑀ℎ𝑀𝑋𝑏𝜆𝑀𝑥𝑀，𝑐也可以看出，函数П𝑀可以令由式子和式子求得，观察式子，这两个方程至于分离常数𝜆𝑖有关见下部分。式子应用考虑到个与相关联设定𝜆𝜆和𝑎𝑐，对函数𝜃𝑖𝑥，𝑀解做如下假设𝜃𝑖𝑥𝑥𝑒−𝜆𝛼𝑖𝑡𝑥𝑥𝑖𝑀，函数𝑋𝑖𝑖𝑀则为𝑋𝑖𝜆𝑥𝜆𝑋𝑏。
6、𝑀−𝜆𝜆𝑀𝐾𝑀−𝐾𝑀𝑋𝑀−𝜆𝜆𝑀−中文字维符合材料介质非稳态传热过程分析方法摘要维层叠体瞬态传热问题常采用基于传统方法解决，然而，如果把每层热扩散系数放在传热方程侧，在时间变量函数采集点处，采用分离变量法对传热方程进行修正，则修正传热方程自动成立，表示处于种透明物理状态。这种自动选择简化了对复合材料介质非稳态传热分析，与传统方法比较，热效应计算简化成了种相对简单数学问题。绪论种实际应用于层叠系列复合材料瞬态温度效应闭式方法最初是由提出，他采用分离变量法解热传问题偏微分方程，在变量分离时，将热扩散系数保留在传热方程侧，在传热方程中建立空间变量函数。这种选择使得时间变量函数独立于热扩散，因此，尽管这种方法可以给出正确定量结果，但并不能表示真实物理问题，而且特征值和相应本征函数计算非常耗时且复杂。在之后，复合材料非稳态传热问题分析经过多年发展，其中包括些个人贡献，层非稳态传热数学建模假定复合材料。
7、达式计算𝑘其中𝑁𝑚表示标准量纲𝑁𝑚，定义𝑁𝑚𝑎𝑚𝑁𝑚𝑘𝑥，给定规范函数𝛬𝑖，𝑚𝜉应用.中定义无量纲参数时，时，式子和中标准量纲𝑁𝑚为数值结果参考瞬态三维圆柱区域问题，我们假设前部分中出现无量纲值如下因此，可以解出超越方程来确定该问题特征值。尽管代数运算很复杂，但运用先进计算机技术可以很容易解决该问题。通常，可以通过令，同时为有限值时，可得到式子中定义解序列𝛩𝑖𝑖特征值，解误差不超过，可以接受。当然，𝜏时，可以得到与外界条件相对应实际值之间最大偏差和近似无量纲温度。，可以证明，𝜉𝛾时，𝜏偏差率低于.，𝜉𝛾时，𝜏偏差率低于。般，本征条件前个特征值见表.图中所示，以三层圆柱复合材料无量纲温度场作为自变量为𝜏函数𝜉，改变𝜏得到不同参数𝜉值图，如图所示，𝜏.时，𝜉曲线与𝜉曲线存在个交点，因此.时，介质加热𝜃或冷却𝜃过程中，𝜉圆柱内表面比𝜉圆柱外表。
8、温度变化速度快𝜉曲线比𝜉曲线变化平缓，这种变现说明也可以从图中看出，可以基于问题中给定无量纲参数来判定，通常对比𝐵𝑖𝛿结论自然分析法可以用于解决多层瞬态问题，可以在无参考情况下应用于复合介质，即可以使矩形圆柱形或者是球形。与基于法瞬态法相比较，具有以下优点方程中层板系数𝑎𝑖和𝑏𝑖最终形式为指数形式，因此，他们代数表达式可以用于任意层数复合材料。超越方程用于确定特征值，要具有明确形式，对于任意层数复合材料都是有效。规范量纲𝑁𝑚固有积分来自是假设积分数值为参数,分别代表矩形圆柱形球形复合材料。积分系数𝑐𝑚固有积分仍定义为通用形式，初始材料均有均匀温度时，为其参数。举个关于三维平板材料圆柱形复合介质数学实例，初始温度均匀，验证所提出自然分析法能够在整体简化情况下，计算瞬态温度。因此，很多用户可以用它来处理简单任务。附录下面我们证明自然法涉及到特征函数正交性，即式子中定义𝑋.𝑚𝑥𝑖𝑀，从。
9、因此，式子同辉满足，式子中是常数，取决于条件，𝜆是除以外任意实数通常，圆柱大于，满足超越方程和。然而，式子表示非稳态热传导问题特征条件，可计算相应特征值𝜆𝑚𝑚，。事实上，时，把式子带入式子中，结果，式子并没有给出与特征值相关有用信息。因此，存在很多如式子形式解，与连续特征值相对应，𝜆⋯⋯𝑚，𝛼𝑖不同，由于热扩散在各个分离层之间并不连续，因此它们是确保内部边界条件和得到验证基础。事实上，这些关系最初来自表。式子中给定函数𝛷𝑖和𝑋𝑖𝑖𝑀为𝛷𝜆𝛷𝑖𝜆𝜆𝑖𝛷𝑖,𝑖−，𝛷𝑖−,𝑖−𝛷𝑖𝑋𝑖𝜆𝜆𝑖𝑥𝜆𝜆𝑖𝑖𝑋𝑏𝜆𝑖𝑥𝑥𝑖𝑀，函数𝛷𝑖，𝑖−𝑖𝑀出现在式子中，定义为𝛷𝑖,𝑖−𝜆𝜆𝑖𝑋𝑖𝜆𝜆𝑖−𝑥𝑖𝑀−𝜆𝜆𝑀𝐾𝑀−𝐾𝑀𝑋𝑀−𝜆𝜆𝑀−𝑥𝑀𝑏可见函数𝛷𝑀，𝑀−可以通过令式。
10、�𝑎𝑎𝑖𝑥𝑥𝑖𝑀，式子线性不相关解，即式子中𝑋𝛼𝜆𝑎𝑎𝑖，𝑥和𝑋𝑏𝜆𝑎𝑎𝑖，𝑥可通过在表中简单设置𝜆𝑖𝜆𝑎𝑎𝑖𝑖𝑀获得。此外，函数𝛷𝑖，𝑖−𝑖𝑀仍可由式子确定，同时固有函数𝛷𝑖，𝑖−𝑖𝑀可重新写成𝛷𝑖，𝑖−𝜆𝑋𝑖−𝜆𝑥𝑖𝑖𝑀𝑀−𝜆𝐾𝑀−𝐾𝑀𝑋𝑀−𝜆𝑥𝑀，𝑏对于函数𝑖𝑀𝑖而言𝜆−ℎ𝑋𝛼𝜆，𝑥−𝑘𝑋𝛼𝜆，𝑥ℎ𝑋𝑏𝜆，𝑥−𝑘𝑋𝑏𝜆𝑎𝜆𝑖−𝑘𝑖𝑋𝛼𝜆𝑎𝑎𝑖，𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆，𝑥𝑖−𝑘𝑖−𝑋𝛼𝜆𝑎𝑎𝑖，𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆，𝑥𝑖−𝑘𝑖−𝑋𝑏𝜆𝑎𝑎𝑖，𝑥𝑖𝑋𝑖−𝜆𝑏𝜆𝑀−ℎ𝑀𝑋𝛼𝜆𝑎𝑎𝑀𝑥𝑀ℎ𝑀𝑋𝑏𝜆𝑎𝑎𝑀𝑥𝑀，𝑐时，对。
11、𝑥ℎ𝜃𝑥，𝑡∙内部边界条件𝑥𝑖𝜃𝑖−𝑥𝑖𝑡𝑖，𝑀𝑘𝑖−𝜕𝜃𝑖−𝜕𝑥𝑥𝑖𝑘𝑖𝜕𝜃𝑖𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖𝑀∙外部边界条件𝑥𝑀𝑘𝑀𝜕𝜃𝑀𝜕𝑥𝑋𝑀ℎ𝑀𝜃𝑀𝑥𝑀，𝑡∙初始边界条件𝜃𝑖𝑥，𝑡𝐹𝑖𝑥𝑥𝑥𝑖𝑀公式表明，𝑥𝑖相互独立层板材料表面两相邻区域温度相等，公式则相反，热通量连续，与内界面相对应，公式可通过分析求解。.自然分析法解层非稳态传热问题公式可通过工件假设法求解分离变量法定义为𝜃𝑖𝑥𝑥𝑥𝑖𝑀由公式替代，得到传热修正方程𝑥𝑞𝑋𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥𝑞𝑑𝑋𝑖𝑑𝑥𝛼𝑖𝐺𝑖𝑑𝐺𝑖𝑑𝑡−𝜆𝑖𝑡，𝑥𝑥𝑖𝑀，𝑀是分离常量，与各层相对应，且与物理约束条件相关联，分离变量时，热扩散率𝛼𝑖保留在公式左边，建立随时间变化函数，自然分析法使得函数𝐺𝑖𝑡明显。
12、面式子开始计算其中，给出积分𝐼𝑖解中特征函数𝑋.𝑘𝑥𝑖𝑀𝑛，定义域𝑥𝑖𝑥𝑖,满足常微分方程，其中𝜆𝑖𝜆𝑘𝑎𝑎𝑖，和，且满足边界条件。因此，由于这里对边界条件考虑是多余，结果将式子.带入积分.中，然后应用分步积分，得到鉴于.，时，表达式.变为鉴于式子.，时，表达式.，可以写成鉴于.，时，表达式.变为鉴于式子，式子.中积分𝐼𝑖𝑖𝑀可写为将积分.带入表达式.中，得到积分带入表达式.中，表达式为。因此，结果可写为即可证明正交性。附录用分步积分法，通过下述两种不同积分方法解式子中定义规范化量纲𝑁𝑚固有积分。前个方法包含两个函数𝑥𝑞和𝑋,𝑚结果，函数𝑥𝑞作为个积分，结果是时，把式子.带入积分式子.右侧第重积分，然后运用分步积分，得到其中式子.右侧第重积分可由下面公式计算，实际上，时，设式子.右侧导出𝑥𝑞𝑥𝑞−𝑥，区分𝑥𝑞−和𝑥𝑋𝑖，𝑚两个函数结。
参考资料：
（外文翻译）一维符合材料介质非稳态传热过程的分析方法（外文+译文）