所产生的后果的函数。

这点很容易理解，个事故发生风险的概率可能很高，但产生的后果损失很小的风险事件其风险不定很高相反，虽然个风险发生的概率不是很高，但是它的损失可能很大。

同理，水资源系统是个复杂的大系统，广泛存在着随机性和模糊性，由于随机性是因果律的破缺模糊性是排中率的破缺，所以应在水资源短缺风险评价模型的设计中同时考虑这两种因素的影响。

以下我们就这两个方面进行讨论水资源短缺风险的模糊性对于水资源系统来说，所谓的风险就是供水量小于需水量，从而使得整个水资源系统处于水资源短缺状态，即发生了水资源短缺风险。

基于水资源的模糊不确定性，构造个合适的隶属函数来描述水资源短缺带来的损失。

定义模糊集如下式中为缺水量为缺水量在模糊集上的隶属函数，构造如下，，，式中分别为水资源总量和需水总量为缺水系统中最小缺水量为缺水系统中最大缺水量为大于的正整数。

通过北京年数据可知，为，为，而此时的取。

则上的隶属函数可化作，，，二水资源短缺风险的模拟概率分布因为回归方法具有对因变量数据要求低计算结果唯模型精度高等优点，所以在此采用回归模型来模拟缺水量系列的概率分布。

则关于缺水量的回归模型可写为式中分别为自变量的系数和常数，此时的称为回归系数为自然对数。

用软件进行回归分析的具体流程图如下样品处理摘要案例处理汇总未加权的案例百分比选定案例包括在分析中缺失案例总计未选定的案例总计如果权重有效，请参见分类表以获得案例总数。

因变量编码这是很重要的信息，告诉我们不同年份的缺水结果。

我们用表示缺水，用表示不缺水，也就是说，在这次分析过程中便于分析。

因变量编码初始值内部值块起始块初始分的水资源短缺风险模糊综合评价模型及应用，水力学报，第卷，第期北京统计局，北京统计年鉴韩中庚，数学建模竞赛获奖论文精选与点评，科学出版社第版年月附录年份农业用水亿立方米工业用水亿立方米第三产业及生活等其它用水亿立方米人口规模万人降水量年污水再生量亿立方米水资源短缺的综合分析和预测吴清柏钱咪咪庞新摘要水是人类社会发展的支柱没有水随着社会的不断发展，人们对水资源的需求量不断增长，因此水资源紧缺程度不断增大，现如今已成为影响社会发展的主要制约因素之所以对水资源的分析与预测已经成为不可避免的热门话题本文从以北京市为例，分析各个行业对水资源短缺的影响趋势，建立数学模型具体分析与判断对于问题采用灰色关联分析判断影响水资源短缺的主要影响因素，再用熵权值的方法来来确定权重系数验证得到各个有效数值进行比较，然后判断在众多因素中的重要因素对于问题二采用模糊概率理论进行分析，对水资源短缺风险发生的概率和缺水影响程度进行综合分析构造隶属函数，利用回归模型模拟而后建立水资源短缺风险模型对于问题三采用多元线性模型，最小二乘的方法得到未来几年内北京水资源情况的相关数据进行判断与预测并提出相应的措施关键词熵值法软件模糊概率法多元线性回归最小二乘问题重述水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。

主要包括陆地上的地表水和地下水。

近年来，我国特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。

以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之，其人均水资源占有量不足，为全国人均的，世界人均的，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了年至年北京市水资源短缺的状况。

政府采取了系列措施积极解决水资源短缺问题，如南水北调工程建设，建立污水处理厂，产业结构调整等。

但是，气候变化和经济社会的不断发展，水资源短缺始终存在。

北京各年的统计年鉴及市政统计资料提供了北京市水资源的相关信息网上可获得。

利用这些资料和你自己可获得的其他资料，建立数学模型讨论以下问题影响北京市水资源短缺的主要因素有哪些对北京市水资源短缺的影响因素进行综合分析。

对北京市未来几年的水资源短缺进行预测，并提出应对措施。

二问题分析问题为了寻找到影响北京水资源严重短缺的主要影响因素。

在收集整理好各类数据实际。

其计算步骤如下构建个事物个评价指标的判„„，。

将判断矩阵归化处理，得到归化判断矩阵年份居民消价格指工污染平均气污水理能力人口量降水量第三产业及生活其它用水工业用水农业用水缺水量式中分别为同指标下不同事物中最满意者或最不满意者越小越满意或越大越满意。

根据熵的定义，个评价事物个评价指标，可以确定评价指标的熵为，为使有意义，当时，根据风险评价的实际意义，可以理解为较大的数值，与相乘趋于，故可认为。

但当，也等于，这显然与熵所反映的信息无序化程度相悖，不切合实际，故需对加以修正，将其定义为计算评价指标的熵权，且满足权重的求解及主要风险因子的确定我们通过中涉及的熵值求权重的方法，运用编程得到了各个因素的熵值，通过比较可以得到影响北京市水资源短缺的主要风险因子。

熵值法的主要运算结果见下表表二各个风险因子归化后的年份农业用水第三产业及生活用水工业用水居民消费指标价格人口数量降水量污水处理能力平均气温工业污染表二各个风险因子的熵以及熵权农业用水第三产业及生活用水工业用水居民消费指标价格人口数量降水量污水处理能力平均气温工业污染由上表可知农业用水第三产业及生活用水，工业用水居民消费指标价格，人口数量降水量污水处理能力平均气温工业污染的熵权值分别为。

由于熵值越小影响越大，其权重也越大的原则，我们可以很清楚的知道在影响北京水资源短缺的众多因素中，北京市人口总数以及北京市降雨量对其影响程度较大。

问题二就风险的含义来说，应包括以下两个方面第，指事故发生的可能性，或事故发生，我们可以通过求解其关联度来进步确定影响事物的本质因素，使各种影响因素之间的灰色关系量化，同时我们规定缺水量总用水量水资源总量。

问题二水资源系统复杂，含有随机性和模糊性采用回归模型模拟和预测水资源短缺风险的概率基于模糊概率的资源短缺模型进行判断问题三通过利用线性回归和最小二乘的方法，进行分析而后进行数据线性拟合预测未来水资源短缺问题三基本假设假设在未来的两年中不会发生重大自然灾害，如洪水地震等假设水资源总量全部为北京市地表水地下水量没有外部供水影响假设所查找的数据真实有效假设影响水资源短缺的各因素之间是相互独立的四符号说明为缺水系统中最小缺水量缺水系统中最大缺水量为供水量为需水量为风险发生的概率密度函数为水资源短缺风险总方差五模型的建立与求解问题在本题中，我们在提供的工业用水农业用水第三产业及其他用水几个影响因子基础上还增加了降水量，人口数量，污染处理能力，平均气温，工业污染，居民消费指数等九个影响因子。

通过对年至年各个因素数据的分析，采用灰色关联分析对影响进行粗略的判断主要风险因子，再运用熵值法来确定权重系数的方法验证。

由于熵值越小，表明指标值的变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大，故我们最后可以通过各个因素的熵值大小，比较得出各个因子的权重大小，从而得到影响北京水资源短缺的主要风险因子。

灰色关联分析表年北京市水资源短缺情况年份总用水量亿立方米农业用水亿立方米工业用水亿立方米第三产业及生活等其它用水亿立方米水资源总量亿方降水量毫米平均气温摄氏度污水处理能力万立方米日人口数量万人居民消费价格指数缺水量亿立方米根据以上数据绘制曲线图如图所示，由曲线可大致得出缺水量与各因子的影响大小，由图可知人口数量与降水量的曲线都与缺水量的曲线形状较接近，故具关联度。

即可粗略得出人口数量与降水量为缺水量的主要因子。

熵值法确定权重系数在确定评价指标的权重时，往往多采用主观确定权重的方法，如方法等。

这样就会造成评价结果可能由于人的主观因素而形成偏差。

在信息论中，熵值反映了信息无序化程度，其值越小，系统无序度越小，故可用信息熵评价所获系统信息的有序度及其效用，即由评价指标值构成的判断矩阵来确定指标权重，它能尽量消除各指标权重计算的人为干扰，使评价结果更符模型类似，仍采用最小二乘法。

计算要复杂得多，通常要借助计算机。

理论推导需借助矩阵代数。

下面给出最小二乘法应用于多元线性回归模型的假设条件估计结果及所得到的估计量的性质。

假设条件，„≠，„，是非随机量，„„，除上面条外，在多个解释变量的情况下，还有两个条件需要满足即观测值的数目要大于带估计的参数的个数要有足够数量的数据来拟合回归线。

各解释变量之间不存在严格的线性关系。

上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件由于显然，当且仅当，≠，„，这两个条件同时成立时才成立，因此，此条件相当于前面条件，两条，即各期各扰动项互不相关，并具有常数方差。

是个非随机元素矩阵。

相当于前面两条即矩阵的秩满足当然，为了后面区间估计和假设检验的需要，还要加上条，三最小二乘估计建立模型，问题是选择ˆˆˆ，，使得残差平方和最小。

残差为ˆˆˆˆ要使残差平方和ˆˆˆ最小，则应有ˆ，ˆ，„„，ˆ我们得到如下个方程即正规方程ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ„„„„„„„„ˆˆˆ按矩阵形式，上述方程组可表示为ˆˆˆ