阶范德蒙行列式产生关联。

定理设，是等差数列中任意个数，公差，则，即时结论也成立故由归纳原理知，结论对任意正整数都成立。

范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助。

例证明个次多项式至多有个互异根。

证明不妨设，如果，有个互异的零点，，则有，即，这个关于，的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式因此方程组只有零解，即，这个矛盾表明，至多有个互异根。

例证明对平面上个点其中互不相等，则必存在唯的个次数不超过的多项式通过该个点即。

证明设，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。

感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。

由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正，，要使，即满足关于，的线性方程组，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式当，互不相等时该行列式不为零，由定理知方程组有唯解，即对平面上个点其中互不相等，则必存在唯的个次数不超过的多项式通过该个点。

结论行列式在数学的各个领域及其他学科中都有着广泛的应用，并且行列式还有着悠久的历史。

自年，卡当给出了两个次方程组的解法，到年日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念开始，再到年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，人们逐渐对行列式进行更深的研究，第个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。

而范德蒙行列式是类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，范德蒙行列式不仅在行列式理论中有着重要的应用，而且在向量空间理论线性变换理论以及微积分中都有广泛的应用。

本文先介绍了行列式的性质及其在计算中的应用，进而给出了范德蒙行列式的证明过程性质以及在行列式计算的应用，比如在我们运用范德蒙行列式进行计算或者变换时，有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙行列式，但是有些行列式则需要经过增加行列才可以应用范德蒙行列式的相关性质进行计算，我们还介绍了范德蒙行列式在多项式理论解线性方程组中的应用。

范德蒙德行列式的结论计算并不复杂，难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式。

最后介绍了范德蒙行列式的两种推广形式，让我们进步了解范德蒙行列式，方便我们将行列式化为标准的范德蒙行列式。

这就需要我们在学习中不断总结，不断探索关于范德蒙行列式的规律，只有熟能生巧，才能更好的掌握范德蒙行列式的相关知识。

参考文献张贤科，许甫华高等代数清华大学出版社，卢刚，冯翠莲线性代数北京大学出版社宴林范德蒙行列式的应用文山师范高等专科学报刘建中，范德蒙行列式的个性质的证明及其应用河北大学学报自然科学版裴礼文数学分析中的经典问题与方法北京高等教育出版社毛纲源线性代数解题方法技巧归纳华中科技大学出版社，李建武杨辉三角与数列拆项中学数学教学参考毛纲源线性代数解题方法技巧归纳武汉华中科技大学出版社，张在明几个涉及指数函数的不等式中学数学教学参考书庞金彪，鹿琳范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用数学通报致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。

尤其要强烈感谢我的论文指导老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。

另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。

在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢，感谢这篇论文所涉及到的各位学者。

本文引用了数位学者的研究文献，证明设维向量满足，比较上式边的系数，可知，，且或有，或且，构造阶矩阵，，其中是第个分量为其余分量为的维列向量，则是下三角矩阵。

由式可得，其中，于是，有，利用上述递推公式，可得，范德蒙行列式的应用范德蒙行列式在行列式计算中的应用若第行列由两个分行列所组成，其中任意相邻两行列均含相同分行列且中含有由个分行列组成的范德蒙行列式，那么将的第行列乘以加到第行列，消除些分行列，即可化成范德蒙行列式。

例计算解将的第行的倍加到第二行得再将上式得第二行的倍加到第三行得再将上式的第三行的倍加到第四行得即为范德蒙行列式。

所以，例计算当中至少有两个相等，则当各不相等时，因为行列互换行列式不变，所以构造线性方程组由于方程组的系数行列式故方程组有唯解，这里为中第列用常数代替所得行列式。

所以，再作元实次方程由知为方程的个不同的根，由根与系数可知所以范德蒙行列式在微积分中的应用例在，上连续，在，设为的真子空间，则中的元素在中的个数小于，否则，若则由，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有，进而矛盾从而中只有有限多个元素在中，而中有无穷多个元素，所以存在，但，即的有限个真子空间不能覆盖其自身。

范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换直是个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙的运用范德蒙行列式来解决这类题目。

例设数域上的维向量空间的线性变换有个互异的特征值，，则与可交换的的线性变换都是，的线性组合，这里的为恒等变换，线性无关的充要条件为这里，，证明设是与可交换的线性变换，且，，则是的不变子空间，令且，，则由以下方程组因为方程组的系数行列式是范德蒙行列式，且，所以方程组有唯解，故是，的线性组合。

充分性因为所以，并且，所以是可逆矩阵，又因为是的组基，，线性无关。

必要性设，是分别属于，的特征向量，则，构成的个基，因而有若，则是的属于的特征向量，故结论成立。

若存在，使，不妨设，全不为零，，因而有，则，利用范德蒙行列式可知有个阶子式不为零，所以，从而，又因为线性无关，所以线性无关，矛盾，从而范德蒙行列式在数列拆项中的应用设是等差数列，公差，则当时，有，将此拆项公式推广之后，我们会发现拆项公式与范德蒙行列式有着密切的关系。

设，是等差数列中任意个数，公差，因为，所以，内存在阶导数，证明上有，这里，。

特别的，存在，，使证在，上构造函数，为范德蒙行列式，则在，上连续，在，内存在阶导数。

因，故有中值定理，存在，使，故再运用次中值定理，存在，，使，即展开行列式即得特别的，取，则有相应的，，使上式成立，即化简即得例设函数在附近存在连续的阶导数，并且有，，若，为组两两互异的实数，证明，存在唯的组实数，，使得当时，是高阶的无穷小。

证明由题设条件可得，在处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式当时，若为高阶的无穷小。

则