1、线的斜率为直线的方程为𝑥,即答案解析关闭自测点评弦长公式使用时要注意直线的斜率情况,对于斜率不存在的直线要单独处理,对于抛物线中的过焦点的弦要使用其特定的公式直线与双曲线或与抛物线的交点问题比直线与椭圆的交点问题更为复杂,除了可以利用方程分析,还可以结合图像分析考点考点考点考点知识方法易错易混考点直线与圆锥曲线的位置关系例求证不论取何值,直线与椭圆𝑥𝑦总有交点思考如何判断直线与圆锥曲线的位置关系证明由𝑚𝑥𝑦𝑚,𝑥𝑦消去得𝑥𝑚𝑥𝑚整理,得,方程恒有实根原方程组恒有解故直线与椭圆总有交点考点考点考点考点解题心得直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成方程组,研究直线与圆锥曲线的位置关系,只需判断这个方程组的解的个数,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题知识方法易错易混考点考点考点考点对点训练过抛物线的焦点作条直线与抛物线交于,两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线有且只有条有且只有两条有且只有三条有且只有四条答案解析解析关闭设抛物线。

2、半径𝑥𝑦𝑐分由已知,有,又,故有𝑐𝑐𝑐,解得所以,所求椭圆的方程为𝑥𝑦分直线与圆锥曲线考纲要求了解圆锥曲线的简单应用理解数形结合思想直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度看,可分为三类没有公共点,仅有个公共点及有两个不同的公共点从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程消元后所得元二次方程解的情况来判断设直线的方程为,圆锥曲线方程为,如消去后得若,当圆锥曲线是双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行当圆锥曲线是抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行或重合由𝐴𝑥𝐵𝑦𝐶𝑦消元,若,设当时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点当时,直线和圆锥曲线相切于点当时,直线和圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线相交时的弦长问题当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算利用两点间的距离公式斜率为不为的直线与圆锥曲线交于两点则所得弦长𝑘或𝑘圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题用“点差法”求解在椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏中,以,为中点的弦所在直线的斜率𝑏𝑥𝑎𝑦在双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏中,以,为中点的弦所在直线的斜率𝑏𝑥𝑎𝑦在抛物线中,以,为中点的弦所在直线。

3、的斜率𝑝𝑦下列结论正确的打,错误的打“”直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆只有个公共点直线与双曲线相切的充要条件是直线与双曲线只有个公共点直线与抛物线相切的充要条件是直线与抛物线只有个公共点如果直线与圆锥曲线相交于,两点,则弦长若抛物线上存在关于直线对称的两点,则需满足直线与抛物线的方程联立消元得到的元二次方程的判别式𝑡直线与椭圆𝑥𝑦的位置关系是相交相切相离不确定答案解析解析关闭直线恒过点又点,在椭圆𝑥𝑦的内部,所以直线与椭圆𝑥𝑦相交答案解析关闭双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏的右焦点为,直线过焦点,且斜率为,则直线与双曲线的左,右两支都相交的充要条件是𝑏𝑎𝑏𝑎或𝑏𝑎答案解析解析关闭由双曲线渐近线的几何意义知𝑏𝑎𝑏𝑎答案解析关闭已知斜率为的直线过椭圆𝑥的右焦点,交椭圆于,两点,则弦的长为答案解析解析关闭解析右焦点直线的方程为,由𝑦𝑥,𝑥𝑦得设则𝑘答案解析关闭椭圆𝑥的弦被点,平分,则这条弦所在的直线方程是答案解析解析关闭设弦的两个端点为则在椭圆上𝑥𝑦两式相减得𝑥𝑥𝑥𝑥,即𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦,即。

4、几何法,即利用数形结合思想并找出关键点或关键线弦长问题弦长公式设直线与圆锥曲线相交于,两点,则可结合元二次方程根与系数关系得到如下弦长公式常用点差法解决弦的中点问题𝑥𝑥𝑦𝑦𝑘𝑘𝑘𝛥𝑎其中为直线的斜率,为的系数知识方法易错易混考点考点考点考点直线与椭圆有且只有个交点,则直线与椭圆相切直线与双曲线或直线与抛物线有且只有个交点,则直线与双曲线或直线与抛物线不定相切利用圆锥曲线中的弦长公式时要注意直线斜率情况,还要注意在抛物线中的焦点弦及其特殊的结论知识方法易错易混答题模板圆锥曲线中的综合性问题典例分设椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点分别为右顶点为,上顶点为已知求椭圆的离心率设为椭圆上异于其顶点的点,以线段为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切于点求椭圆的方程解设椭圆右焦点的坐标为,由,可得,又,则𝑐𝑎所以,椭圆的离心率分由知,故椭圆方程为𝑥𝑐𝑦𝑐设,由有𝐹𝑃𝐹𝐵,由已知,有𝐹𝑃𝐹𝐵,即分又,故有因为点在椭圆上,故𝑥𝑐𝑦𝑐由和可得𝑥而点不是椭圆的顶点,故,代入得𝑐,即点的坐标为𝑐,𝑐分设圆的圆心为则𝑐进而圆。

5、的焦点作条直线与抛物线交于,两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线有且只有条有且只有两条有且只有三条有且只有四条答案解析解析关闭设抛物线焦点为,则𝑝𝑝故符合条件的直线有且只有条答案解析关闭知识方法易错易混考点考点考点考点考点圆锥曲线中的弦长与中点弦问题多维探究类型弦长问题例已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏经过点离心率为,左右焦点分别为,求椭圆的方程若直线与椭圆交于,两点,与以为直径的圆交于,两点,且满足𝐴𝐵𝐶𝐷,求直线的方程思考如何求圆锥曲线的弦长知识方法易错易混考点考点考点考点解由题设知𝑏𝑏𝑎𝑐,解得,椭圆的方程为𝑥𝑦由题设,以为直径的圆的方程为,圆心到直线的距离𝑚,由得𝑑𝑚𝑚知识方法易错易混考点考点考点考点设由𝑦𝑥𝑚,𝑥𝑦得,由根与系数的关系可得𝑚𝑚𝑚由𝐴𝐵𝐶𝐷,得𝑚𝑚,解得,满足直线的方程为或知识方法易错易混考点考点考点考点类型二中点弦问题例过点,作斜率为的直线与椭圆相交于,两点,若是弦长的中点,则椭圆的离心率等思考解中点弦问题常用的求解方法是什么𝑥𝑎𝑦𝑏答案解析解析关闭设则𝑥𝑎𝑦𝑏𝑥。

6、𝑦又所以𝑦𝑦𝑥𝑥,故直线的方程为,即答案解析关闭知识方法易错易混考点考点考点考点𝑥𝑎𝑦𝑏知识方法易错易混考点考点考点考点解依题意得𝑐𝑎,过右焦点与长轴垂直的直线与椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏联立,解得弦长为𝑏𝑎,椭圆的方程为𝑥证明设𝑡𝑡,直线𝑡,知识方法易错易混考点考点考点考点联立得𝑦𝑡𝑥即,可知𝑡𝑡,所以𝑡𝑡,则𝑥𝑀𝑡𝑡,𝑦𝑀𝑡𝑡同理得到𝑥𝑁𝑡𝑡,𝑦𝑁𝑡𝑡由椭圆的对称性可知这样的定�𝑥𝑝所以𝑥𝑥𝑥𝑥𝑝知识方法易错易混考点考点考点考点所以以为直径的圆的方程为𝑥𝑝𝑝当直线与曲线相离时,圆心到直线的距离,即𝑝𝑝所以𝑝𝑝,所以𝑝,即知识方法易错易混考点考点考点考点所以,即,即或故,,,知识方法易错易混考点考点考点考点江西奉新中模拟如图为椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的左右焦点是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,𝑆𝐷𝐸𝐹若点,在椭圆上,则点𝑥𝑎,𝑦𝑏称为点的个“椭点”直线与椭圆交于,两点两点的“椭点”分别为已知以为直径的圆经过坐标原点求椭圆的标准方程的面积是否为定值若。

7、为定值,试求出该定值若不为定值,请说明理由知识方法易错易混考点考点考点考点解椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的离心率𝑐𝑎又,由组成方程组,解得,椭圆的标准方程为𝑥知识方法易错易混考点考点考点考点设则𝑥𝑥,𝑦𝑂𝑃⊥𝑂𝑄𝑂𝑄𝑥𝑥设直线的方程为,联立𝑚𝑦𝑡𝑥化为直线与椭圆相交于两点化为𝑚𝑡𝑚,代入可得𝑚𝑡𝑚代入知成立知识方法易错易混考点考点考点考点𝑚𝑦𝑦𝑦𝑦𝑚𝑚𝑡𝑚𝑡𝑚𝑚𝑚𝑡𝑚点到直线的距离𝑡𝑚又𝑚,故为定值知识方法易错易混考点考点考点考点考点圆锥曲线中的最值或范围问题例已知点椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点求的方程设过点的动直线与相交于,两点,当的面积最大时,求的方程思考圆锥曲线中最值问题的解法有哪些知识方法易错易混考点考点考点考点解设由条件知得又𝑐𝑎,所以,故的方程为𝑥当⊥轴时不合题意,故设,将代入𝑥,得当,即时𝑘𝑘𝑘知识方法易错易混考点考点考点考点从而𝑘𝑘𝑘𝑘又点到直线的距离𝑘,所以的面积𝑘𝑘设𝑘,则𝑡当且仅当𝑡,即,。

8、𝑥𝑥𝑥𝑎𝑦𝑦𝑦𝑦𝑏𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥又,𝑐𝑎答案解析关闭知识方法易错易混考点考点考点考点𝑦𝑦𝑥𝑥知识方法易错易混考点考点考点考点对点训练圆的切线与轴正半轴,轴正半轴围成个三角形,当该三角形面积最小时,切点为如图求点的坐标焦点在轴上的椭圆过点,且与直线交于,两点若的面积为,求的标准方程知识方法易错易混考点考点考点考点解设切点为,则切线斜率为𝑥𝑦,切线方程为𝑥𝑦,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为𝑦𝑥𝑦由𝑥𝑦知当且仅当时,有最大值,即有最小值,因此点的坐标为,设的标准方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,点,由点在上知𝑎𝑏,并由𝑥𝑎𝑦𝑏得知识方法易错易混考点考点考点考点又,是方程的根,因此𝑥𝑥𝑏,𝑥𝑥𝑏𝑏由得𝑘𝑏𝑏𝑏由点到直线的距离为及,得,解得或因此,舍去或,从而所求的方程为𝑥𝑦知识方法易错易混考点考点考点考点已知点,是直线被椭圆所截得的弦长的中点,则的方程是𝑥𝑦答案解析解析关闭设直线与椭圆相交于,则𝑥𝑦,且𝑥𝑦,两式相减得𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥�。

9、时等号成立,且满足,所以,当的面积最大时的方程为或知识方法易错易混考点考点考点考点解题心得圆锥曲线中常见的最值问题及其解法两类最值问题涉及距离面积的最值以及与之相关的些问题求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的些问题两种常见解法几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决代数法,若题目的条件和结论能体现种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法配方法及导数法求解知识方法易错易混考点考点考点考点对点训练已知椭圆𝑥的左焦点为,为坐标原点设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点,求点横坐标的取值范围解设直线的方程为,代入𝑥,整理得,方程有两个不等实根知识方法易错易混考点考点考点考点如图,设的中点则𝑘𝑘𝑘𝑘,的垂直平分线的方程为𝑘令,得𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,点横坐标的取值范围为,知识方法易错易混考点考点考点考点涉及直线与圆锥曲线的位置关系的判断有两种方法代数法,即联立直线与圆锥曲线的方程,组成方程组,通过方程组的解来判断。

参考资料：

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