抽屉原理的应用与推广 ㊣ 精品文档 值得下载

定理设，是正整数，则存在最小正整数使得当，时，用红蓝两色涂的边，则或存在个蓝色的，或存在个红色的定理可以视为抽屉原理的推广，年，匈牙利数学家把这原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有道这样的试题证明任何六个人中，定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人在年月号美国数学月刊同样也登载着这样个有趣的问题任何六个人的聚会，总会有人互相认识或人互相不认识这就是著名的问题。

这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思但如果懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的我们用代表六个人，从中随便找个，例如把其余五个人放到与认识和与不认识两个抽屉里去，根据抽屉原理，至少有个抽屉里有三个人不妨假定在与认识的抽屉里有三个人，他们是如果三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人如果三人中有两个互相认识，例如与认识，那么，就是三个互相认识的人不管哪种情况，本题的结论都是成立的。

或者我们可以用染色的方法。

以个顶点分别代表个人，如果两人相识，则在相应的两点间连条红边，否则在相应的两点间连蓝边。

命题对个顶点的完全图任意进行红蓝两边着色，都存在个红色三角形或蓝色三角形。

证明首先，把这个人设为六个点由点可以引出五条线段。

设如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色。

由抽屉原理可知这五条线段中至少有三条是同色的。

不妨设为红色。

若或为红色，则结论显然成立。

若和均为蓝色，则若为红色，则定有三个人相互认识若为蓝色，则定有三个人互相不认识。

上述的问题等价于下面的命题命题对个顶点的完全图任意进行红蓝两边着色，都存在个红色三角形或蓝色三角形。

命题运用抽屉原理可以很容易很简便地对其进行证明现将命题推广成下面的命题命题对六个顶点的完全图任意进行红蓝两边着色，都至少有两个同色三角形。

由于命题是要证明至少存在两个同色三角形的问题，而抽屉原理般只局限在证明至少存在个或必然存在个的问题，所以对于上述命题抽屉原理就显得无能为力，这时需要运用定理来解决问题。

证明设，是的六个顶点，由上面的命题可知，对任意进行红蓝两边着色都有个同色三角形，不妨设是红色三角形以下分各种情况来讨论若均为蓝边，如图所示，则若之间有蓝边，不妨设为，则三角形为蓝色三角形否则，为红色三角形。

图图若中有条红边，不妨设为红边，此时若边，中有条红边，不妨设是红边，则是红色三角形，见图以下就，均为蓝边的情况对与相关联的边的颜色进行讨论。

ⅰ若，中有蓝边，不妨设为蓝边，如图，此时，若，均为红边，则是红色三角形否则，或是蓝色三角形。

国科学技术大学出版社，屠义生抽屉原理在无限集上的推广及使用数学通报濮安山高等代数中抽屉原理的应用哈尔滨师范大学自然科学学报朱莉莉从集合论的原理来讨论抽屉原理贵州商业高等专科学校学报王坤浅谈抽屉原理及其简单应用科技信息吕松涛抽屉原理在数学解题中的应用商丘职业技术学院学报安振平抽屉原理在数学解题中的应用咸阳师范学院基础教育课程研究中心王连笑用抽屉原理解数论问题天津市实验中学朱欢抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用高等函授学报自然科学版徐建辉例谈如何构造抽屉沙洋师范高等专科学校致谢在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢。

指导老师严谨治学的态度使我受益匪浅在论文写作的这段时间里，他时刻关心着我的论文完成情况，并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方，最后才能使得我顺利完成论文。

同时感谢其他所有帮助过我的老师同学以及起努力过的朋友。

ⅱ若，均为红边，见图，此时，若之间有条红边，不妨设为红边，则为红色三角形否则，为蓝色三角形。

图图由以上对各种情况的讨论知，对的任意红蓝两边着色均有两个同色三角形。

从以上例子可知，抽屉原理在应用上有不足之处，之上只是个特例，至于在别的领域中的不足之处还需我们进步的探索。

抽屉原理在实际生活中的应用抽屉原理不仅在高等数学中具有广泛应用，在我们的实际生活中，也能处处发现抽屉原理的影子如招生录取赛程安排资源分配职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。

其实早在中国古代的春秋战国时期就有了运用抽屉原理的例子，那就是晏子春秋中的二桃杀三士的典故，将两个桃子赏赐给三名勇士，在这里可以将桃子看作抽屉，三个人作为元素放进抽屉，则根据抽屉原理，定有个抽屉要放入两个或两个以上的元素，回到问题情境中就是定要有两个人吃个桃子，导致这三名勇士最后自相残杀而亡，这就是著名的二桃杀三士。

后来宋朝时期费衮在他的梁谿漫志中就曾运用抽屉原理来驳斥但是流行的算命说，费衮指出算命是把个人出生的年月日时作为依据，把这些作为抽屉，则不同的抽屉有个。

把所有的人作为物品，则进入同抽屉的人有成千上万个，因此生时同者必不为少矣既然八字相同，又何贵贱贫富之不同也这是大基数的社会现象，常给人感觉世事很奇巧，碰到同生日同名的人，这也是抽屉原理在生活中的应用。

而生活中也有常见的抽屉原理的应用之处，如抢凳子游戏，群人抢凳子，凳子数比人少，必然淘汰些人，又或者是个人中总有人是同个月份出生，张扑克牌中取出张总有张花色相同，在米长的小路上种棵小树，不管怎么种，至少有两棵树苗之间的距离不超过米等等。

下面我们再来看几个例子。

例名运动员进行乒乓球比赛，每两名运动员都要比赛场，每场比赛五局三胜采取分制全部比赛结束后所有格局比赛最高得分为那么至少有多少局的比分是相同的解名运动员，每两名运动员都要比赛场，根据乘法原理，共赛了场因为甲同乙比赛与乙同甲比赛只能算同场，所以要除以因为每场比赛至少三局，所以共至少比赛局。

根据题目条件，乒乓球比赛的可能比分为共计种把这种情况看作个抽屉。

因为所以至少有局的比分是相同的。

例名学生回答个问题，每个问题的得分是证明存在两个学生，对于每个问题，的得分不少于的得分。

证明设，在三个题目的得分为即证若存在两位同学在二题的得分相同，则结论成立否则，将二题得分用数对，表示，所有得分点情况如图所示，图将四条折线以及个正方形区域作为五个抽屉个得分点中位于正方形中的点最多只有个，所以在折线，至少有个得分点，则由抽屉原理，必有条折线上至少有个得分点，即至少有个同学在第二题的得分上满足，再由抽屉原理，这个同学中必有两个同学在第题的等分相同，即命题得证。

结束语抽屉原理的应用领域十分广泛，涉及到高等数学的多个学科，并且在生活中也有广泛的应用，可以巧妙的用于解决些复杂问题，本文主要梳理总结了它在数论高等代数及无限集中的应用，其不足之处也由定理进行了补充，使其能够更好的应用与问题解决当中。

参考文献孙淑玲，许胤龙组合数学引论编合肥中如此。

令为整数，满足，且使数除以余数为，则对于个适当的，有因此，且，从而具有所要求的性质。

例求证在有个不同的正整数所组成的等差数列中，至少有项不能表示成的形式。

证明假设存在个各项不同且均能表示成的形式的项等差数列。

设这个等差数列为，，其中，设，其中，表示不超过实数的最大整数。

则，接下来研究这个数列中最大的项，首先证明，中至多有个不能表示成或的形式。

若，中的个，不能表示成或的形式，由假设知定存在非负整数，使得由的定义可知，又因为不能表示成或的形式，所以，若，则与，矛盾。

若，则与矛盾。

因此，只有，故，中至多有个不能表示成或的形式。

所以中至少有个能表示成或的形式。

由抽屉原理知，至少有七个能表示成或中的同种形式。

有七个能表示成的形式。

设，，其中，则，是个公差为的项等差数列中的七项，所以，显然故矛盾。

有七个能表示成的形式。

设，，其中，则，是个公差为的项等差数列中的七项。

而，矛盾。

综上，假设不成立故原题得证。

高等代数中的应用例已知齐次线性方程组其中，，证明存在不全为零的整数，适合，证明令，，则该齐次线性方程组可写成设集合，这六家中至少有三家在讨论相同的问题，证毕。

不等式中的应用例若实数满足，求证证明由于，所以中必存在个同时不大于，或者同时不小于，不妨设为，则有所以例已知，求证证明根据抽屉原理可知中至少有两个同时不大于常数，或者不小于常数，于是，不妨设为这样就得到，变形，得由柯西不等式，易得，于是，有即再根据柯西不等式，便得由，得故抽屉原理的推广抽屉原理有很多推广，但般都只局限于有限集范围。

下面将用函数的观点叙述抽屉原理，进而在可数集和不可数集上推广它。

即设，是两个有限集合，对于任意从到的函数，必有个元素，，使得同时对于些更加复杂