1、,⫋平面,所以⊥底面如图,显然不是棱上若存在点,使得平面,过作交于,连接所以,即和共面,所以,所以四边形为平行四边形,所以,所以是梯形的中位线,为的中点考点考点考点知识方法易错易混如图,在中,,为的中点,⊥于点不同于点,延长交于,将沿折起,得到三棱锥,如图所示若是的中点,求证直线平面求证⊥若平面⊥平面,试判断直线与直线能否垂直并说明理由考点考点考点知识方法易错易混证明因为,分别为,的中点,所以,又⫋平面,⊈平面,所以平面证明因为⊥,⊥,且∩,所以⊥平面又⫋平面,所以⊥考点考点考点知识方法易错易混解直线与直线不能垂直理由如下因为平面⊥平面,平面∩平面,⊥,⫋平面,所以⊥平面因为⫋平面,所以⊥,又因为,所以⊥假设⊥,因为∩,所以⊥平面,所以⊥,这与为锐角矛盾,所以直线与直线不能垂直考点考点考点知识方法易错易混转化思想垂直关系的转化在证明两平面垂直时,般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时,般要用性质定理,在个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键考点考点考点知识方法易错易混在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义判定定理和性质定理的交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化面面垂直的性质定理是作辅助线的个重要。
2、☉的直径,是☉上点,⊥,⊥,给出下列结论⊥⊥⊥⊥平面,其中真命题的序号是答案解析解析关闭因为⫋平面,⊥,⊥,所以⊥,故正确因为⊥,⊥,⫋平面,所以⊥,又⊥,⫋平面,所以⊥,故正确因为⊥,若⊥,则⊥平面,则,与已知矛盾,故错误由可知正确答案解析关闭自测点评在空间中垂直于同直线的两条直线不定平行,还有可能异面相交等使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况考点考点考点知识方法易错易混考点直线与平面垂直的判定与性质例如图,在三棱柱中,,在底面的射影为的中点,是的中点证明⊥平面考点考点考点知识方法易错易混证明设为的中点,由题意得⊥平面,所以⊥因为,所以⊥故⊥平面由,分别为,的中点,得且,从而且,所以为平行四边形于是又因为⊥平面,所以⊥平面考点考点考点知识方法易错易混思考证明线面垂直的常用方法有哪些解题心得证明线面垂直的方法是线面垂直的判定定理二是利用面面垂直的性质定理三是平行线法若两条平行线中的条垂直于个平面,则另条也垂直于这个平面解题时,注意线线线面与面面关系的相互转化另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高中线和顶角的角平分线三线合矩形的内角直径所对的圆周角菱形的对角线互相垂直直角三角形或给出线段长度,经计算满足勾股定理直角梯形等等考点考点考。
3、析关闭在题图中的等腰直角三角形中,斜边上的中线就是斜边上的高,则⊥,翻折后如题图,与变成异面直线,而原线段变成两条线段这两条线段与垂直,即⊥,⊥,故⊥平面,所以⊥答案解析关闭为所在平面外点,为在平面内的射影若到三边距离相等,且在的内部,则是的心若⊥,⊥,则是的心若与底面所成的角相等,则是的心答案解析解析关闭到三边距离相等,且在的内部,可知到三边距离相等,即是的内心由⊥平面且⫋平面,得⊥,又⊥,与是平面内两条相交直线,所以⊥平面,从而⊥同理⊥,所以是的垂心由与底面所成的角相等,易得≌≌,从而,所以是的外心答案解析关闭内垂外如图,⊥☉所在平面,是☉的直径,是☉上点,⊥,⊥,给出下列结论⊥⊥⊥⊥平面,其中真命题的序号是答案解析解析关闭因为⫋平面,⊥,⊥,所以⊥,故正确因为⊥,⊥,⫋平面,所以⊥,又⊥,⫋平面,所以⊥,故正确因为⊥,若⊥,则⊥平面,则,与已知矛盾,故错误由可知正确答案解析关闭自测点评在空间中垂直于同直线的两条直线不定平行,还有可能异面相交等使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况考点考点考点知识方法易错易混考点直线与平面垂直的判定与性质例如图,在三棱柱中,,在底面的射影为的中点,是的中点证明⊥平面考点考点考点知识方法易错易混证明设为的中点,由题意得⊥平面,所以。
4、点知识方法易错易混对点训练如图,在正方体中,为棱的中点,为棱的中点求证直线⊥直线在线段上求点,使得直线⊥平面考点考点考点知识方法易错易混证明连接,由正方体的性质可知,⊥,⊥,又∩,⊥平面⫋平面,⊥解所求点即为点,证明如下由可知⊥,取的中点,连接由⊥,⊥,∩,可得⊥平面⫋平面,⊥又∩,⊥平面,即⊥平面考点考点考点知识方法易错易混考点平面与平面垂直的判定与性质例如图,直三棱柱的底面是边长为的正三角形分别是,的中点证明平面⊥平面证明因为三棱柱是直三棱柱,所以⊥又是正三角形的边的中点,所以⊥因此,⊥平面而⫋平面,所以,平面⊥平面考点考点考点知识方法易错易混思考证明面面垂直的常用方法有哪些解题心得两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直平面和平面垂直的判定定理的两个条件⫋,⊥,缺不可考点考点考点知识方法易错易混对点训练如图,四边形为菱形,为变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知三棱柱中,平面⊥底面,⊥,底面是边长为的等边三角形,分别在棱,上,且求证⊥底面在棱上找点,使得平面,并给出证明考点考点考点知识方法易错易混证明如图,取中点,连接,因为三角形是等边三角形,所以⊥又平面⊥底面,⫋平面,平面∩平面,所以⊥平面又⫋平面,所以⊥又⊥,∩,⫋平面。
5、依据我们要作个平面的条垂线,通常是先找这个平面的个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可“立体几何”类题目的审题要点与解题步骤在高考数学试题中,问题的条件以图形的形式或将条件隐含在图形之中给出的题目较多,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系数值的特点变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供信息来解决问题典例分如图,在正方体中分别是棱,的中点,求证直线平面直线⊥平面审题要点解题流程第问正方体结论第问正方体的几何特征⊥,⊥平面⊥平面⊥,的中点,证⊥,⊥⊥平面解题步骤第步由图形特征正方体中位线推证,,从而证,可得结论第二步利用图形特征⊥及⊥平面推证⊥平面,从而得⊥第三步利用平行性证明⊥,⊥,可证⊥平面证明连接,由是正方体,知,因为,分别是,的中点,所以从而而⫋平面,且⊈平面,故直线平面如图,连接则⊥由⊥平面,⫋平面,可得⊥又∩,所以⊥平面而⫋平面,所以⊥连接,因为,分别是,的中点,所以,故,从而⊥同理可证⊥又∩,所以直线⊥平面垂直关系考纲要求以立体几何的定义公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理能运用公理定理和已获得的结论证明些空间图形的垂直关系的简单命题直线与平面垂直直线和平面垂直的定义如果条直线和个平面内的任何条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果条直线和个平面内的两条。
6、,⫋平面,所以⊥底面如图,显然不是棱上若存在点,使得平面,过作交于,连接所以,即和共面,所以,所以四边形为平行四边形,所以,所以是梯形的中位线,为的中点考点考点考点知识方法易错易混如图,在中,,为的中点,⊥于点不同于点,延长交于,将沿折起,得到三棱锥,如图所示若是的中点,求证直线平面求证⊥若平面⊥平面,试判断直线与直线能否垂直并说明理由考点考点考点知识方法易错易混证明因为,分别为,的中点,所以,又⫋平面,⊈平面,所以平面证明因为⊥,⊥,且∩,所以⊥平面又⫋平面,所以⊥考点考点考点知识方法易错易混解直线与直线不能垂直理由如下因为平面⊥平面,平面∩平面,⊥,⫋平面,所以⊥平面因为⫋平面,所以⊥,又因为,所以⊥假设⊥,因为∩,所以⊥平面,所以⊥,这与为锐角矛盾,所以直线与直线不能垂直考点考点考点知识方法易错易混转化思想垂直关系的转化在证明两平面垂直时,般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时,般要用性质定理,在个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键考点考点考点知识方法易错易混在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义判定定理和性质定理的交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化面面垂直的性质定理是作辅助线的个重要。
7、相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直线线垂直⇒线面垂直⊥⊥⋂⫋⫋⇒⊥性质定理如果两条直线同垂直于个平面,那么这两条直线平行⊥⊥⇒直线与平面的夹角平面外条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角,角的范围是二面角的有关概念二面角从条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角二面角的平面角以二面角的棱上任点为端点,在两个半平面内分别作与棱垂直的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,平面与平面垂直平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果个平面经过另个平面的条垂线,那么这两个平面互相垂直⊥⫋⇒⊥性质定理两个平面垂直,则个平面内垂直于交线的直线与另个平面垂直⊥⋂⊥⫋⇒⊥下列结论正确的打,错误的打“”已知直线若⊥,⊥,则直线与平面内的无数条直线都垂直,则⊥设,是两条不同的直线,是个平面,若,⊥,则⊥若两平面垂直,则其中个平面内的任意条直线垂直于另个平面若平面内的条直线垂直于平面内的无数条直线,则⊥如图,为正方体的底面的中心,则下列直线中与垂直的是答案解析解析关闭由题易知,⊥平面,又⫋平面,⊥答案解析关闭教材习题改编练习将图中的等腰直角三角形沿斜边的中线折起得到空间四面体如图,则在空间四面体中,与的位置关系是相交且垂直相交但不垂直异面且垂直异面但不垂直答案解析解。
8、析关闭在题图中的等腰直角三角形中,斜边上的中线就是斜边上的高,则⊥,翻折后如题图,与变成异面直线,而原线段变成两条线段这两条线段与垂直,即⊥,⊥,故⊥平面,所以⊥答案解析关闭为所在平面外点,为在平面内的射影若到三边距离相等,且在的内部,则是的心若⊥,⊥,则是的心若与底面所成的角相等,则是的心答案解析解析关闭到三边距离相等,且在的内部,可知到三边距离相等,即是的内心由⊥平面且⫋平面,得⊥,又⊥,与是平面内两条相交直线,所以⊥平面,从而⊥同理⊥,所以是的垂心由与底面所成的角相等,易得≌≌,从而,所以是的外心答案解析关闭内垂外如图,⊥☉所在平面,是☉的直径,是☉上点,⊥,⊥,给出下列结论⊥⊥⊥⊥平面,其中真命题的序号是答案解析解析关闭因为⫋平面,⊥,⊥,所以⊥,故正确因为⊥,⊥,⫋平面,所以⊥,又⊥,⫋平面,所以⊥,故正确因为⊥,若⊥,则⊥平面,则,与已知矛盾,故错误由可知正确答案解析关闭自测点评在空间中垂直于同直线的两条直线不定平行,还有可能异面相交等使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况考点考点考点知识方法易错易混考点直线与平面垂直的判定与性质例如图,在三棱柱中,,在底面的射影为的中点,是的中点证明⊥平面考点考点考点知识方法易错易混证明设为的中点,由题意得⊥平面,所以。
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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系课件 文 北师大版
