1、在例条件下求的最大值和最小值答案答案关闭如图所示,表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为,所以的最大值是,的最小值是考点考点考点知识方法易错易混类型四利用对称性求范围例设点若在圆上存在点,使得,则的取值范围是答案解析解析关闭当点的坐标为,时,圆上存在点使得,所以符合题意,故排除当点的坐标为,时过点作圆的条切线,连接,则在中,,则,故此时在圆上不存在点,使得,即不符合题意,排除,故选答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混类型五建立目标函数求最值问题例设圆的切线与轴正半轴,轴正半轴分别交于点当取最小值时,切线的方程为答案解析解析关闭设点,的坐标分别为,则直线的方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,即,因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离𝑎𝑏𝑎𝑏,即,所以,当且仅当时取等号,又𝑎𝑏𝑎𝑏,所以的最小值为,此时,即,切线的方程为𝑥𝑦,即答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法配方法判别式法。

2、𝑎𝑎𝑎,即,解得,故圆心坐标为半径,故圆的方程为考点考点考点知识方法易错易混方法二题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离圆心是直线被这两条平行线所截线段的中点,直线与直线的交点坐标是与直线的交点坐标是故所求圆的圆心坐标是所求圆的方程是方法三作为选择题也可以验证解答圆心在上,排除选项再验证选项,中圆心到两直线的距离是否等于半径即可考点考点考点知识方法易错易混经过点,两点,并且在轴上截得的弦长等于的圆的方程为答案解析解析关闭设圆的方程为,将,两点的坐标分别代入得𝐷𝐸𝐹,𝐷𝐸𝐹又令,得设,是方程的两根,由有,由解得,或故所求圆的方程为或答案解析关闭或考点考点考点知识方法易错易混思考求圆的方程有哪些常见方法解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程般来说,求圆的方程有两种方法几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质圆心在过切点且垂直切线的直线上圆心在任弦的中垂线上两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解考点考点考点知识方法易错易混对点训练过点,的圆与直线相切于点则圆的方程为答案解析方法由已知,所以的中垂线方程为过点且垂直于直线的直线方程为,即,联立,解得𝑥所以圆心坐标为半径,所以圆的。

3、中顶点的坐标为底边的个端点的坐标为则另个端点的轨迹方程为答案解析解析关闭设根据在等腰三角形中,可得,即考虑到三点要构成三角形,因此点不能为,和,所以点的轨迹方程为除去点,和,答案解析关闭除去点,和,自测点评求圆的标准方程,定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素配方法在圆的般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握求轨迹方程时,定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为答案解析方法设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为则𝑎𝑎𝑎𝑎,即,解得,故圆心坐标为半径,故圆的方程为考点考点考点知识方法易错易混方法二题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离圆心是直线被这两条平行线所截线段的中点,直线与直线的交点坐标是与直线的交点坐标是故所求圆的圆心坐标是所求圆的方程是方法三作为选择题也可以验证解答圆心在上,排除选项再验证选项,中圆心到两直线的距离是否等于半径即可考点考点考点知识方法易错易混经过点,两点,并且在轴上截得的弦长等于的圆的方程为答案解析解析关闭设圆的方程为,将,两点的坐标分别代入得𝐷𝐸𝐹,𝐷𝐸𝐹又令,得设,是方程的两根,由有,由解得,或故所求圆的方程为或答案。

4、方程为考点考点考点知识方法易错易混方法二设圆的方程为,点,在圆上,故𝑎𝑏𝑟又𝑏𝑎,解得,故所求圆的方程为考点考点考点知识方法易错易混在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上,则圆的方程为答案解析解析关闭曲线与坐标轴的交点为,故可设圆的圆心坐标为则有,解得,则圆的半径为𝑡,所以圆的方程为答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混考点与圆有关的轨迹问题例如图所示,圆和圆的半径长都等于,过动点分别作圆,圆的切线为切点,使得试建立平面直角坐标系,并求动点的轨迹方程答案答案关闭解以的中点为原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,由已知,得因为两圆的半径长均为,所以设则,化简,得,所以所求轨迹方程为考点考点考点知识方法易错易混解题心得求与圆有关的轨迹问题时,根据题设心,为半径的圆𝑦𝑥的几何意义是圆上点与原点连线的斜率,所以设𝑦𝑥,即如图所示,当直线与圆相切时,斜率取最大值或最小值,此时𝑘𝑘,解得所以𝑦𝑥的最大值为,最小值为考点考点考点知识方法易错易混类型二截距型最值问题例在例条件下求的最大值和最小值答案答案关闭可看作是直线在轴上的截距,如图所示,当直线与圆相切时,纵截距取得最大值或最小值,此时𝑏,解得所以的最大值为,最小值为考点考点考点知识方法易错易混类型三距离型最值问题。

5、等,利用基本不等式求最值是比较常用的考点考点考点知识方法易错易混对点训练设为直线上的动点,过点作圆的两条切线,切点分别为则四边形的面积的最小值为答案解析解析关闭圆的标准方程为,圆心为半径为,根据对称性可知,四边形的面积为𝑃𝐶𝑟,要使四边形的面积最小,则只需最小,最小时为圆心到直线的距离所以四边形面积的最小值为𝑃𝐶𝑟答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混圆心的确定可考虑圆的几何性质圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任意弦的垂直平分线上两圆相切时,切点与圆心三点共线半径的确定常有如下方法若已知直线与圆相切,则圆心到切点线的距离等于半径若已知弦长弦心距半径则可利用弦长的半弦心距半径三者构成的直角三角形求得考点考点考点知识方法易错易混求圆的方程需要三个条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个的关系式解答与圆有关的最值问题般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质解决与圆有关的轨迹问题,定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹易错警示轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误典例设定点动点在圆上运动,以,为邻边作平行四边形,求点的轨迹解如图所示,设则线段的中点坐标为𝑥线段的中点坐标为𝑥,𝑦由于平行四边形的对角线互相平分,故𝑥𝑥,𝑦𝑦从而𝑥𝑥在圆上,故因为要构成平行四边形,。

6、在例条件下求的最大值和最小值答案答案关闭如图所示,表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为,所以的最大值是,的最小值是考点考点考点知识方法易错易混类型四利用对称性求范围例设点若在圆上存在点,使得,则的取值范围是答案解析解析关闭当点的坐标为,时,圆上存在点使得,所以符合题意,故排除当点的坐标为,时过点作圆的条切线,连接,则在中,,则,故此时在圆上不存在点,使得,即不符合题意,排除,故选答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混类型五建立目标函数求最值问题例设圆的切线与轴正半轴,轴正半轴分别交于点当取最小值时,切线的方程为答案解析解析关闭设点,的坐标分别为,则直线的方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,即,因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离𝑎𝑏𝑎𝑏,即,所以,当且仅当时取等号,又𝑎𝑏𝑎𝑏,所以的最小值为,此时,即,切线的方程为𝑥𝑦,即答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法配方法判别式法。

7、此需要三点不共线直线,与联立方程组,解得𝑥,𝑦或𝑥所以应除去,和,这两个点故点的轨迹是以,为圆心,为半径的圆除去,和,两点圆与圆的方程考纲要求掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与般方程圆的几何特征和圆的方程几何特征圆上任点到圆心的距离等于定长,这个定长就是半径圆的标准方程圆心为半径是的圆的标准方程圆心在坐标原点时的圆的方程为圆的般方程当时,表示圆心为𝐷半径长为𝐷𝐸𝐹的圆当时,表示个点𝐷当时,它不表示任何图形点与圆的位置关系平面上的点,与圆之间存在着下列关系⇔在圆外,即⇔在圆外⇔在圆上,即⇔在圆上⇔在圆内,即⇔在圆内下列结论正确的打,错误的打“”已知圆的方程为,过点,作该圆的切线只有条方程表示圆心为半径为的个圆方程表示圆心为,半径为的圆已知点则以为直径的圆的方程是方程表示圆的充要条件是𝑎北京,文圆心为,且过原点的圆的方程是答案解析解析关闭由题意可得圆的半径为,则圆的标准方程为答案解析关闭点,在圆上,且点,关于直线对称,则该圆的半径为答案解析解析关闭圆的方程可化为𝑥𝑘𝑘点,关于直线对称,圆心𝑘,在直线上,则该圆的半径为故选答案解析关闭圆的圆心在轴上,并且过点,和则圆的方程为答案解析解析关闭设圆心坐标为点,和,在圆上即𝑎𝑎,解得,圆心为半径,圆的方程为答案解析关闭已知等腰三角形,其。

8、中顶点的坐标为底边的个端点的坐标为则另个端点的轨迹方程为答案解析解析关闭设根据在等腰三角形中,可得,即考虑到三点要构成三角形,因此点不能为,和,所以点的轨迹方程为除去点,和,答案解析关闭除去点,和,自测点评求圆的标准方程,定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素配方法在圆的般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握求轨迹方程时,定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为答案解析方法设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为则𝑎𝑎𝑎𝑎,即,解得,故圆心坐标为半径,故圆的方程为考点考点考点知识方法易错易混方法二题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离圆心是直线被这两条平行线所截线段的中点,直线与直线的交点坐标是与直线的交点坐标是故所求圆的圆心坐标是所求圆的方程是方法三作为选择题也可以验证解答圆心在上,排除选项再验证选项,中圆心到两直线的距离是否等于半径即可考点考点考点知识方法易错易混经过点,两点,并且在轴上截得的弦长等于的圆的方程为答案解析解析关闭设圆的方程为,将,两点的坐标分别代入得𝐷𝐸𝐹,𝐷𝐸𝐹又令,得设,是方程的两根,由有,由解得,或故所求圆的方程为或答案。

参考资料：

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[9]语文版七年级语文上册课件：5回忆我的母亲1（第18页，发表于2022-06-24 19:23）

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[20]西藏拉萨中学高二化学人教版选修四《第一章第三节化学反应热的计算》课件（共18张PPT）（第18页，发表于2022-06-24 19:23）