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限的运算法则求极限定理已知都存在极限值分别为则此时需成立例求解原式注对于和差积商形式的函数求极限可以采用极限运算法则使用时需要先对函数做些恒等变换或化简变换的方法通常有分式的通分约分分解因式分子分母有理化三角函数的恒等变化拆项消去法比较最高次幂法等注运用极限法则时必须注意只有各项极限都存在对商还要分母极限不为零时才能适用利用单调有界准则求极限定理在实数系中有界的单调数列必有极限例证明数列重根式的极限存在分析显然故数列单调增加下面证有界由于数列由递推关系给出解题时通常先估计出它的上下界再用数学归纳法证明下界显然是取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界可先假设极限存在且设再由易得对其两边求极限得解得显然所有大于的实数都是的上界为便于计算取的上界为然后用数学归纳法加以证明证明显然故数列单调增加显然假设则，再对式子两边求极限得从而注利用单调准则证明极限存在主要针对递推数列必须验证数列两个方面的性质单调性和有界性解题的难点在于判断单调性般通过数学归纳法减法除法比较前后项利用夹逼准则求极限定理设且在空心邻域内有，则调增加下面证有界由于数列由递推关系给出解题时通常先估计出它的上下界再用数学归纳法证明下界显然是取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界可先假设极限存在且设再由易得对其两边求极限得解得显然所有大于的实数都是的上界为便于计算取的上界为然后用数学归纳法加以证明证明显然故数列单调增加显然假设则，再对式子两边求极限得从而注利用单调准则证明极限存在主要针对递推数列必须验证数列两个方面的性质单调性和有界性解题的难点在于判断单调性般通过数学归纳法减法除法比较前后项利用夹逼准则求极限定理设且在空心邻域内有，则例求解当时有从而由夹逼准则得所以注夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限注利用夹逼准则求函数极限的关键构造函数使由此可得利用两个重要极限求极限两个重要极限根据复合函数的极限运算法则可将以上两个公式进行推广例求解利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限定理设函数在内有定义且有若则若则性质有限个无穷小量的代数和为无穷小量性质有限个无穷小量的乘积为无穷小量性质常数与无穷小量的乘积是无穷小量定理设均为无穷小且且存在则例计算解由于而，故有注对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换注常用等价代换公式当时，等利用连续性求极限定理切连续函数在其定义区间内的点处都连续即如果是连续函数的定义区间内的点则例求解由于在初等函数的定义域之内由的连续性有利用罗必达法则求极限型不定式极限定理若函数和满足在点的空心邻域内两者都可导且可为实数也可为则型不定式极限定理若函数和满足在点的空心邻域内两者都可导且可为实数也可为则注罗必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的在同运算过程中可连续使用直到求出所求极限但是，对于其他不定式的极限如等类型如果无法判断其极限状态则罗必达法则失败但只需经过简单变换它们般可以化为型和型的极限例计算解这是个型的不定式极限直接应用罗必达法则得原式例求解这是个型的不定式关于数学分析中极限求解的若干方法摘要在数学分析中极限是个蕴含深刻辩证法的数学概念其中渗透着常数与变数有限与无限精确与近似等研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限如连续导数定积分级数等等因此极限是数学分析中非常重要的个概念本文主要探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法结合具体的例子分析了般极限的求解过程给出了般极限求解的方法和技巧揭示了极限求解的解题思路关键词函数极限方法引言极限是数学分析中最基本的概念之用以描述变量在定变化过程中的终极状态纵观数学的发展我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了段漫长的过程它把初等数学扩展为个新的阶段变量数学整个数学分析都是以极限为基础而展开的门数学学科从不同的数学角度去体验和理解极限这数学概念对于学好数学分析和其他相关课程具有很重要的意义本文主要结合相关概念定理性质和例题对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结数学分析中极限求解的方法利用定义求极限定义设函数在点的个空心邻域内有定义为定数若对任给的存在正数使得当时有，则称函数当趋于时以为极限记作或用极限的定义证明例证由于因此于是对任给的不妨设取则当时有注用极限的定义时只需要证明存在或故求解的关键在于不等式的建立在求解的过程中往往采用放大缩小等技巧但不能把含有的因子移到不等式的另边再放大而是应该直接对要证其极限的式子步步放大有时还需加入些限制条件限制条件必须和所求的或致最后结合在起考虑利用极限的运算法则求极限定理已知都存在极限值分别为则此时需成立例求解原式注对于和差积商形式的函数求极限可以采用极限运算法则使用时需要先对函数做些恒等变换或化简变换的方法通常有分式的通分约分分解因式分子分母有理化三角函数的恒等变化拆项消去法比较最高次幂法等注运用极限法则时必须注意只有各项极限都存在对商还要分母极限不为零时才能适用利用单调有界准则求极限定理在实数系中有界的单调数列必有极限例证明数列重根式的极限存在分析显然故数列单调增加下面证有界由于数列由递推关系给出解题时通常先估计出它的上下界再用数学归纳法证明下界显然是取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界可先假设极限存在且设再由易得对其两边求极限得解得
【毕业设计】关于数学分析中极限求解的若干方法
