【毕业设计】函数的一致连续性 ㊣ 精品文档 值得下载

，都存在，则在，，上致连续。

推论若函数若函数在，上连续，且存在则则函数在，上致连续。

推论若函数在，上连续且，都存在，则在，上致连续反之不成立，例如在，上致连续，但，都不存在。

推论若函数在区间上有定义，曲线存在垂直渐近线，则在区间上不致连续。

定理若函数在区间上有定义，对，，都存在且有界，且有有限个∩点，则在区间上致连续。

证明不妨设，，因在区间上任意点的左右导数都存在，则在区间上连续，只有有限个角点，分别设为，，记，，，，，在，上连续，必致连续，而在，上可导，且有界，，，，，，不妨设，在，上可导，由拉格朗日中值定理知，，从而，εε，，，ε则在，上致连续。

同理在，上致连续，由已知连续性质知在，上致连续。

该定理的条件减弱也可能成立，例如，上任意点的左右导数都存在且有界，虽有无限个角点，，也有在上致连续反之不成立例如在，上的导数无界。

定理若函数，上连续，存在常数，且则函数在，上致连续。

证明令，在上连续，且由定理的推论知在上致连续，而显然在上致连续，，由致连续的性质，函数在上致连续。

推论若函数在，上连续，存在常数，且，则函数在，上致连续。

推论若函数在，上连续且曲线存在不垂直于轴的渐近线，则函数在，上致连续。

推论若函数在，上连续且任意曲线，，与曲线，同时存在不垂直于轴的渐近线，则函数在，上致连续。

例函数在，上连续，且在，和，同时存在水平渐近线，则在，上致连续。

例函数，，上连续，且存在渐近线，则在，上致连续。

反之不成立，例如在，上致连续，但是不存在斜渐近线。

综上所述，关于致连续函数在平面上的分布，可归纳下几种情况对于有线区间上的致连续函数，由于有界性，所以它必包含在个矩形之内，矩形的边平行于坐标轴对于无限区间来说，凡有垂直渐近线的连续函数都不是致连续函数，因此，它的无限部分应限制在个角形之内。

总之，致连续函数是分布在平面上个槽形区域之内，当趋于无穷大是，其切线斜率为有界的类连续函数。

致连续函数的运算性质函数致连续逼连续要求更强。

对初学者来讲，致连续不仅是个难点而且是个重点。

它是学习实变函数的基础。

般的教材都只是给出致连续的定义和康托定理。

没有深入研究。

致连续函数具有连续函数的那些运算性质。

下面的定理给出了回答。

我们知道连续函数的和差积商除式不等于零仍然是连续函数。

致连续函数是否也有这些性质。

定理如果，在有限区间上致连续，那么对任意的实数，，在上致连续。

证明当时，显然成立。

当是，因为在区间上致连续，所以εε，，当时，ε，在上都是致连续函数，而，则不是致连续函数。

例证明，在，上致连续。

证明因为在，上已知连续，，在，上，致连续，由定理可知在，上是致连续。

例在什么条件下，，内的连续函数为致连续解由闭区间上的连续函数是致连续，是，上的连续函数，在，上是连续函数是致连续函数，所以在，致连续的条件是，存在。

致连续函数的复合运算定理若函数从在区间上致连续，函数在在上致连续，则其复合函数在上致连续。

证明由于函数在上致连续，所以ε，，对于，只要就有ε又由于在上致连续，于是对上述的，，对于，只要，就有所以，，对于，只要就有ε，即在上致连续。

例函数在，上致连续，又函数在，，上致连续，所以在，上致连续。

注定理中若及其中至少有个函数在相应区间上不致连续，则它们的复合在上的直连续性不确定。

例在，上不致连续，在，，，上致连续，而在，上致连续。

，上不致连续，在，，，上致连续，但在，上不致连续。

在，上致连续，在，，，上致连续。

在，上已知连续，在，，，不致连续，而其复合在，上不致连续。

在，上不致连续，在，，，上不致连续，仍在，上不致连续。

在，上不致连续，在，，，上不致连续，但是在，上致连续。

致连续函数的四则运算定理若函数和都在上致连续，所以ε，对，只要，就有ε有，对，，只要就有ε于是，ε，对于，，只要就ε于是，ε，对于，，只要就有εεε那么在上致连续。

例及都在，上致连续，则，也在，上致连续。

注若及其中之在上致连续，而另个不致连续，则它们的代数和在上定不致连续但若两个函数都在上不致连续，它们的代数和的致连续性不定。

定理若及都在有限区间，上致连续，则它们的积也在，上致连续。

证明首先由在，上致连续，应用柯西收敛准则可证及都存在，从而进步证明在，上有界，即存在对，都有，同理存在，对，又ε，，都有，，只要就有ε同样，，只要就有ε于是取，，，只要就有，所以在，上致连续。

注若将，换成无穷区间，命题不真。

例如在，上致连续，但是，却在，不致连续。

定理若与都在任意区间上致连续且有界，则它们的积在上致连续。

证明仿定理证明的后部分进行。

例与都在，上致连续且有界，则它们的积在，上致连续。

定理若在区间上致连续，且有，则在上致连续。

证明由在区间上致连续，且，只要，就有ε，于是此时就有εε所以在上致连续。

例在，上致连续，且则在，上致连续。

定理若与在有限区间，上致连续，且在，上有，则在，上致连续。

证明由定理可知在，上致连续，又由定理可知在，上致连续。

例，都在，上致连续且，，则在，上致连续。

定理若与都在任意区间上致连续，且，，则在上致连续。

证明这是定理与定理的综合推论。

结论连续和致连续的数学术语精确的表达了实际意义，也体现了数学科学的严密性和逻辑性。

研究致连续与非致连续的相似处和相异处在科研上有很重要的意义。

如地震波是致连续的，那么没有太大的损害。

连续与致连续的概念属于最基本的知识，是很重要的。

我们知道函数在区间上致连续，自然在区间上连续，反之不定。

函数在区间内的连续性是指在区间内每点上都连续。

这里讨论的致连续概念是反应函数在区间上更强的连续。

在区间上致连续是指任给正数ε，对每个都存在相应的正数ε，，只要΄΄΄，且΄，就有΄΄ε般来说，对于上不同的点分别存在不同的，所以连续中的与点有关，即ε，。

如存在适合于上所有点的公共，函数就不仅在区间上连续，而是致连续，所以函数的致连续性是整体性质。

它可指出在区间上的每点都连续，这局部性质，根据致连续定义，若函数在区间上致连续，则函数在区间连续。

事实上，把΄看做固定点，把΄看做动点即函数在点΄连续剧，又因为΄是区间上的任点，所有函数在区间上连续。

不过对闭区间上连续函数讲，可以由点点连续推出致连续。

参考文献赵玉松初等函数连续性的讨论烟台师范学院学报，杨峻函数致连续性的判定安阳师范学院学报汪义瑞李本庆致连续函数的判定安康师范专科学校郝凡致连续函数的运算与判别沈阳大学学报陈百棣致连续函数的运算性质九江学院理学院，袁南桥致连续函数的判别及分布四川文理学院华东师范大学数学分析下北京高等教育出版社，费定晖，周学圣吉米多维奇数学分析习题解四济南山东科技术出版社，裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社徐利治大学数学解题法诠释安徽安徽教育出社，致谢这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我人之功劳，是所有指导过我的老师，帮助过我的同学和直关心支持着我的家人对我的教诲帮助和鼓励的结果。

我要在这里对他们表示深深的谢意，感谢我的指导老师齐素英老师，没有您的悉心指导就没有这篇论文的顺利完成。

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