【毕业设计】分块矩阵的初等运算及其应用 ㊣ 精品文档 值得下载

阵在证明方面的应用，如矩阵的秩的相关问题，证明个矩阵是些特殊矩阵的问题，证明有关矩阵的秩的定理问题。

本文将通过对分块矩阵性质的研究分析，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，为很多线性代数中问题的处理带来很大的方便。

第章分块矩阵的定义及相关运算分块矩阵的定义设是个矩阵，如果将用条横线和条竖线分成个小矩阵，每个小矩阵称为的个子块或子矩阵，以这些子块作为元素构成的行列的矩阵称为矩阵的分块矩阵。

亦称是个块矩阵。

例如，矩阵中，表示级单位矩阵，而，这就是我们所说的矩阵的分块分块矩阵的运算加法与数量乘法运算设，都是阶矩阵，如果其分块方式样，其中都是矩阵，其中，。

则有，。

乘法运算设将，分块成，，其中每个都是小矩阵，每个是小矩阵。

于是有其中，。

应该注意，矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法致。

转置运算分块矩阵的转置不仅要行列互换，各个子矩阵也要进行转置。

如，其中是小矩阵，则。

分块矩阵的初等变换定义受线性方程组的消元法启发得出矩阵的初等行变换行对换变换行倍乘变换行倍加变换，而将分块矩阵与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段。

如同般矩阵，分块矩阵的初等变换有三种Ⅰ交换分块矩阵的两个块行列Ⅱ用个非奇异矩阵左乘右乘分块矩阵的个块行列Ⅲ将分块矩阵的个块行列的矩阵倍加到分块矩阵的另个块行列上。

运算将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段。

现将个单位矩阵分成，对其作相应的初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵对换阵倍乘阵，倍加阵，。

定理对分块矩阵作分块初等行变换，相当于用相应的分块初等矩阵左右乘该矩阵。

证明记的分块形式与上述分块单位矩阵的分块形式样，则由分块矩阵的乘法得。

例设方阵其中都是矩阵，设是任意阶方阵，则矩阵对于有。

证明设是级单位矩阵，则，所以。

例设方阵其中，都是矩阵，设是任意阶方阵，则矩阵对于有。

证明由，取行列式得。

例试证行列式乘积公式。

证明设，为阶单位矩阵。

对的行列式按前行展开，得对作初等变换由例可知。

将的行列式按前行展开，得。

由得。

证明作阶行列式，展开得，由初等变换得。

定理设，都是阶方阵，则有。

证明。

例计算阶行列式解令，，则。

第三章北京空气动力研究所编第九届高超声速气动力会议论文集北京北京空气动力研究所孔祥福风洞带地面板条件下的流场校测报告北京空气动力研究所技术报告，北京北京空气动力研究所航空涡轮喷气和涡轮风扇发动机通用规范美国空军，黎志华，黎志军反馈声抵消器中国专利，致谢附录附录Ⅰ中文译文分块对角矩阵的逆矩阵冉瑞生黄廷祝电子科技大学数学与应用数学成都中国内容简介首先，对扭曲的分块对角矩阵的分解块进行了介绍。

通过对些特殊的矩阵的分解，计算其中每块的逆矩阵，更进步地获得了分块对角矩阵的算法，而且还对每块元素的逆矩阵进行了比较。

最后，本文对该算法及其些其他关于逆矩阵的算法的计算复杂度和计算所需时间进行了比较。

版权归教育部博士点基金公司所有年关键词分块对角矩阵逆矩阵扭曲的分块矩阵分解算法介绍对角矩阵中通常出现的大多数问题来自数学物理学和工程学，有很多人投身于对角矩阵的研究，对角矩阵和分块对角矩阵是项还存些问题需要解决的重要课题。

相反的是的许多问题例如计算的条件数，预算的逆元素以及关于线性系统的系数矩阵都是分块对角矩阵。

近年来，许多人已经研究了对角矩阵的逆，但是很少有人研究分块对角矩阵的逆，在最近几年提交的文章中，我们看到的最新的结果是该算法应用高性能计算机的对称分块对角矩阵的发展，该算法对于分块矩阵的应用极其重要。

该算法应用于分块矩阵，主要是计算矩阵，在许多计算环境中，这种算法比线性代数的基本算法更加有效，分块是本文研究的以下表格。

当，和都是有顺序的矩阵序列，在这里，只是为了计算方便没有特定的意义。

本文中所有的矩阵都是非奇异的，除非另有说明。

对角矩阵的分解提出了问题，显然，分解和判别可以容易的分解对角矩阵。

结合这两种分解方法，第二章确定提出了扭曲的矩阵分解。

根据特殊构造分解扭曲的矩阵迭代计算公式每块的逆矩阵的元素可以被确定让每块对角矩阵的演算可以被建立。

基于该算法的表达式，我们对逆矩阵的元素进行了构造。

引理引理假设是分块矩阵形式同，然后使扭曲的分块分解为，当，和都是矩阵序列，可以通过下矩阵计算迭代公式，证明考虑到二次曲线的分解，用的第行乘上的第列，以此迭代即可计算得到矩阵，和。

此时，，类似地，我们用的第行乘上的第列，我们就可以得到第二种情况，第三种情况也可以通过的第行和的第列得到。

然后，通过获得的矩阵序列，和构造矩阵和，我们得到了二次曲线的分解是正确的。

主要结果定理假定是分块对角矩阵形式同，使得，当都是次矩阵，然后的第，块元素就是下列矩阵的形式，。

证明，，是个有元素的单位矩阵，，代表第个单位矩阵。

，当矩阵块，是的形式，通过引理特殊构造和得综上所述，得令通过计算，易得，如下代表非零常数高斯消去即得矩阵的逆矩阵的求法。

我们发现和的结构相同，第行和第列是。

通过得即综上所述，我们的结论成立。

不论还是，通过代入公式，我们都可以容易求得分块对角矩阵的逆。

定理令是个分块对角矩阵形如，且令，则的逆矩阵可以被表示为这里和通过求得。

对比计算的复杂程度及代入数值进行计算对于任意阶的矩阵，我们都可以通过两个矩阵的乘积以及高斯消去法得到，因此计算复杂程度，我们只需考虑乘积和消去，易得计算复杂程度为。

已经用列出了对称矩阵的逆的算法，注非对称对角矩阵的形式，我们有是对角矩阵的块，则对角元素是，，是对称对角矩阵。

综上所述，的算法是相等的，由此获得对角矩阵的逆矩阵，我们翻出经典的高斯消去法或分块矩阵初等行列变换法，我们比较下这些算法的计算复杂度，得表。

显而易见，本文的算法复杂度小于已有的算法，通常分块矩阵的逆矩阵是满置的，有个元素需要计算，所以本文的计算复杂度是最小的。

此外，式也可以认为是元素个数为的带宽矩阵，带宽为，易得计算复杂度为，即。

很明显，高斯消去法比该方法复杂很多。

我们通过计算机做些实验，矩阵序列中的元素是和是，之间的随机数字，对角矩阵序列的元素也是，之间的随机数，该对角矩阵是矩阵序列与之和，因此，测试矩阵是个对角占优矩阵。

表为上述算法的时间复杂度，在表中，本文中的算法，算法和分块矩阵的基本算法都由决定，区分和。

该算法与算法进行比较分析，分块矩阵的算法通过和来进行弥补。

在时间复杂度上高斯消去法比该算法更加复杂，因此我们不在表中进行比较。

通过表可以得出，与其他两种算法进行比较，该算法节约了很多时间，尤其是与分块矩阵的初等行列变换相比。

表计算复杂度的比较高斯消去法分块矩阵初等算法算法本文算法表时间复杂度的比较参考文献，，附录Ⅱ英文原文太原科技大学毕业设计论文设计论文题目分块矩阵的初等运算及其应用姓名姬君君学院系应用科学学院专业数学与应用数学班级指导教师王银珠年月日太原科技大学毕业设计论文任务书由指导教师填写发给学生学院直属系应用科学学院时间年月日学生姓名姬君君指导教师王银珠设计论文题目分块矩阵的初等运算及其应用主要研究内容翻译相关英文科技文献了解分块矩阵常用的各种运算，探讨其应用深入研究分块矩阵的新的运算，探讨研究其在实际中的应用研究方法通过查找文献特别是英文文献，培养翻译数学相关英文文献的能力，进步查找文献，结合所学知识解决分块矩阵的初等运算以及实际应用的问题主要技术指标或研究目标深入研究分块矩阵的新的运算，探讨研究其在实际中的应用。

主要参考文献线性代数与矩阵论，许以超主编，高等教育出版社，矩阵论，杨明，刘先忠著，华中科技大学出版社，说明式两份，份装订入学生毕业设计论文内，份交学院直属系目录摘要ⅢⅣ第章绪论第章分块矩阵的定义及相关运算分块矩阵的定义分块矩阵的运算加法与数量乘法运算乘法运算转置运算分块矩阵的初等变换定义运算第章分块矩阵的应用分块矩阵在解线性方程组中的应用遗传算法运行参数分析确立评价目标函数分析各参数的影响对基本遗传算法的改进适应值函数的改进自适应遗传算法结论参考文献致谢附录附录Ⅰ中文译文附录Ⅱ英文原文注如果还有其他附录，可放在中文译文之前，中文译文英文原文