1、是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的填“内心”“外心”“重心”或“垂心”解析由原等式，得，即，根据平行四边形法则，知是的中线为的中点重心所对应向量的倍，所以点的轨迹必过的重心题型向量在平面几何中的应用解析答案引申探究在本例中，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平。
2、点，满足，则解析，⊥，是圆的切线，设的方程为，由，得，即解析答案思维升华已知圆，圆，过圆上任意点作圆的两条切线切点分别为则的最小值是跟踪训练解析答案例已知，满足，若且的最大值是最小值的倍，则实数的值是题型三向量的综合应用解析答案函数在个周期内的图象如图所示，分别是最高点最低点，为坐标原点，且，则函数的最小正周期是解析由图象可知，所以。
3、是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的填“内心”“外心”“重心”或“垂心”解析由原等式，得，即，根据平行四边形法则，知是的中线为的中点重心所对应向量的倍，所以点的轨迹必过的重心题型向量在平面几何中的应用解析答案引申探究在本例中，若动点满足，，，则点的轨迹定通过的解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平。
4、为若函数在个周期内的图象如图所示分别是这段图象的最高点和最低点，且为坐标原点，则解析由题意知又，解析答案已知在中，则解析为钝角，又，，解析答案单位圆上三点满足，则向量，的夹角为，解析为单位圆上三点，又，可得，向量，的夹角为解析答案设点是的外心，则解析答案解析答案设向量其中，，已知函数的最小正周期为求的值解，因为，所以，若是关于的方程的根，且求的值解方程的。
5、分，即平分，所以点的轨迹必过的内心内心解析答案思维升华在平行四边形中，为的中点若，则跟踪训练解析答案平面四边形中，则四边形的形状是解析⇒⇒平面四边形是平行四边形，⇒⊥，所以平行四边形是菱形菱形解析答案例已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为解析且，解得或由可知，则过点，且斜率为的直线方程为，即题型二向量在解析几何中的应用解析答案设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有。
6、两根为，因为所以解析答案所以，即又由知，所以已知向量，当时，求的值解因为，所以，所以解析答案设函数，已知在中，内角的对边分别为若，求，的取值范围解析答案已知平面上不共线的四点若，则解析答案解析由，得，所以，所以，即已知，且关于的函数在上有极值，则向量与的夹角的。
7、解得，所以函数的最小正周期是解析答案思维升华已知在平面直角坐标系中，动点，满足不等式，则的最大值为即点的轨迹是抛物线抛物线解析答案在所在平面上有点，满足，则与的面积的比值是解析由题意可得，所以是线段的三等分点靠近点，易知，即∶∶解析答案解析答案在中，则边的长度为解析由题意画示意图，作⊥，垂足为，如图表示在上的投影为，即的长为表示在上的投影为，即的长为，故边的长度。
8、为若函数在个周期内的图象如图所示分别是这段图象的最高点和最低点，且为坐标原点，则解析由题意知又，解析答案已知在中，则解析为钝角，又，，解析答案单位圆上三点满足，则向量，的夹角为，解析为单位圆上三点，又，可得，向量，的夹角为解析答案设点是的外心，则解析答案解析答案设向量其中，，已知函数的最小正周期为求的值解，因为，所以，若是关于的方程的根，且求的值解方程的。
9、分，即平分，所以点的轨迹必过的内心内心解析答案思维升华在平行四边形中，为的中点若，则跟踪训练解析答案平面四边形中，则四边形的形状是解析⇒⇒平面四边形是平行四边形，⇒⊥，所以平行四边形是菱形菱形解析答案例已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为解析且，解得或由可知，则过点，且斜率为的直线方程为，即题型二向量在解析几何中的应用解析答案设为坐标原点，为圆的圆心，且圆上有。
10、点，满足，则解析，⊥，是圆的切线，设的方程为，由，得，即解析答案思维升华已知圆，圆，过圆上任意点作圆的两条切线切点分别为则的最小值是跟踪训练解析答案例已知，满足，若且的最大值是最小值的倍，则实数的值是题型三向量的综合应用解析答案函数在个周期内的图象如图所示，分别是最高点最低点，为坐标原点，且，则函数的最小正周期是解析由图象可知，所以。
11、两根为，因为所以解析答案所以，即又由知，所以已知向量，当时，求的值解因为，所以，所以解析答案设函数，已知在中，内角的对边分别为若，求，的取值范围解析答案已知平面上不共线的四点若，则解析答案解析由，得，所以，所以，即已知，且关于的函数在上有极值，则向量与的夹角的。
12、解得，所以函数的最小正周期是解析答案思维升华已知在平面直角坐标系中，动点，满足不等式，则的最大值为即点的轨迹是抛物线抛物线解析答案在所在平面上有点，满足，则与的面积的比值是解析由题意可得，所以是线段的三等分点靠近点，易知，即∶∶解析答案解析答案在中，则边的长度为解析由题意画示意图，作⊥，垂足为，如图表示在上的投影为，即的长为表示在上的投影为，即的长为，故边的长度。
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