蝶形运算包含次复数乘法和两次复数加法，所以的时间复杂度为。

二维离散傅立叶变换在数字图像处理中，图像信号是二维的，所以下面我们讨论二维离散傅立叶变换。

只要考虑两个变量，就很容易将维离散傅立叶变换推广到二维。

二维离散傅立叶变换对如下，，二维离散傅立叶变换的傅立叶谱相位功率谱与维的类似，分别如下傅立叶谱，相位，功率谱式可分离为式可分离为可见，个二维傅立叶变换或反变换都可分解为二步进行，其中每步都是个维傅立叶变换或反变换，也即先对图像进行维行傅立叶变换或列傅立叶变换，然后再进行维列傅立叶变换行傅立叶变换。

傅立叶变换性质傅立叶变换的典型性质有下列三种。

空间域平移性空间域内的图像，的原点平移到点，时，其对应的频谱变换关系为即频谱乘上个负的指数项，造成相位平移，而幅度不改变。

因为这表明图像在空间域的平移不改变傅立叶域的幅度谱，仅对相位角有影响。

旋转不变性在空间域中以极坐标，取代在变换域以，代替使得显然，在变换前图像为，，变换后为，可以证明存在以下变换对这表明，图像阵列，在空间域中旋转了角度后，变换系数矩阵在频率域中也旋转同样的角度。

同样的，如果变换域系数阵列在频率域中旋转角度后，则反变换后获得的空间域图像，必然旋转角度。

比例缩放性函数，的尺寸缩放到，时，其对应的频谱关系为这表明图像在空域按比例缩放，其傅立叶频域反方向缩放相同比例。

傅立叶变换的这三种典型性质在构造抵抗几何攻击的水印算法时十分有利。

第四章基于傅立叶域相关性检测的半盲水印引言目前，图像水印技术的研究对于水印鲁棒性的要求比较高，有相当部分算法采用伪随机噪声来构造水印，与之相应，采用相关性检验来检测被检测图像中是否含有水印。

当被检测图像中所提取的待测序列与原始水印具有较强的相关性时，表示该被检测图像中含有水印，否则，不含有水印。

然而在另外些情况下，对嵌入图像中的水印信息要求比较高。

比如要求所嵌入的信息是可读的或可视的，如有意义的信息文字，图像等。

这种有意义的水印具有无意义水印无可比拟的优点。

因此，本章结合伪随机序列与有意义水印，提出了基于傅立叶域相关性检测的水印算法。

为了提高水印的安全性，在嵌入水印前用变换对水印图像进行了置乱，下面先介绍变换。

基于变换的图像置乱算法变换，又称猫脸变换，是在研究遍历理论过程中提出的种变换。

假设图像为。

令，这就是单位正方形上的变换。

实际上，可以令离散图像的像素坐标扩展到幅图像上，对于幅大小为的图像，有下述的变换由此做迭代变换，记，式中为输入，左端为输出，考虑其反馈，有，通过离散点的置换，同时把图像信息移植过来，当遍历了原图象的所有点之后，便产生了副新的图像。

对于数字图像而言，我们所说的位置移动其实是对应点的灰度值或颜色值的移动，即原来点，处象素对应的灰度值或值移动至变换后的点，处。

如果我们对个数字图像迭代地使用离散化的变换，即将左端输出的作为下次变换的输入，可以重复这个过程直下去。

当迭代到步时，如果出现的图像符合我们对图像的杂乱无章标准的要求，这即是幅基于变换的置乱图像。

注意到式定义的变换实际上是种点的位置移动，且这种变换是对应的。

此外，这种变换可以迭代地做下去。

类似的变换还有面包师变换。

需要注意的是，变换具有周期性，即当迭代到步时，将重新得到原始图像。

和分析了离散变换的周期性，给出了对于任意，变换的周期。

本算法采用的水印图像尺寸为，变换周期为。

即迭代的进行次置乱后，水印图像将恢复原来面目。

下表为不同阶数下，二维数字图像的变换周期。

表变换周期下图是用软件进行试验的结果图图图嵌入强度峰值信噪比归化相关系数不同嵌入强度下试验结果本节分别测试了嵌入强度在六种不同取值时，嵌入水印图像与提取水印的效果，并分别计算了峰值信躁比归化相关系数。

图图图图图图经过试验表明水印嵌入强度加大，提取的效果会好些但相应的嵌入水印图像的失真会比较明显。

可按不同的应用均衡嵌入强度与水印不可感知性之间的矛盾。

第五章总结与展望随着信息技术的飞速发展，数字产品的大众化及网络的普及，数字化产品的产权保护成为急需解决的问题。

在此背景下产生的数字水印技术作为种新的有效产权保护手段，必将具有广阔的应用前景和使用价值。

本论文首先针对数字水印技术的发展现状及其相关技术进行了讨论然后引入傅立叶变换基本理论，作为实现数字水印算法的算法理论基础接着提出了种基于傅立叶域相关性检测的水印算法。

本算法结合了置乱方法经典相关性检测方法和傅立叶域特性，并在嵌入时采用嵌入两个不相关伪随机序列的方法，有效的提高了水印的安全性和相关性检测的准确率，是对经典相关性检测方法的种改进。

基于信息隐藏的数字水印技术还是个新兴的研究领域，还有许多未触及的研究课题，现有技术也需要改进和提高。

而对于不同攻击鲁棒性的水印算法也是层出不穷。

在这里，对数字水印技术未来几年内可能的研究方向做个展望鲁棒更高的不可见水印的嵌入与检测算法。

主要是通过分析现有算法的弱点并进行改进参考人类感觉系统的模型探索新的隐密途径。

确定不同水印算法承受各种攻击的能力，即水印的攻击分析，以促进水印系统的不断提高。

目前水印系统在抗击几何变形攻击和多拷贝攻击能力上很不足，希望能从水印攻击分析的角度找出合适的抗攻击手段。

公钥数字水印系统，即作者使用个专有的密钥来叠加水印信号，而任何人均可通过个公开的密钥来检测出水印信号，但是从公开的密钥推导专有密钥和从公开的密钥来去除水印信号两个过程都应当是非常困难的。

这目标旦有所突破，将最大限度的提高水印系统的实用价值，正如公钥系统在传统密码学领域的贡献样。

目前的公钥数字水印是利用公钥加密来达到的，安全的纯公钥数字水印算法是否存在在理论上还是个未知数。

也可以利用水印黑盒来实现公钥数字水印。

这些都是值得研究的课题。

基于内容的数字水印系统。

建立于统计特征集合上的系统很容易受到非线性变换等方法的攻击，而基于更高层的内容特征叠加水印信号似乎具有更强的抵抗力，这与目前的压缩编码研究领域的进展是致的。

数字水印技术广泛应用的最大障碍在于对非普通攻击的强壮性问题。

普通攻击指由普通信号处理操作引起的攻击。

而非普通攻击指由有经验的攻击者或固执的黑客所设计的攻击。

但是，如果攻破个水印所花费的代价足够高，那么这个水印系统就应该算是成功的。

应该注意到，数字水印要得到更广泛的应用必须建立系列的标准和协议，如加载或嵌入数字水印的标准提取或检测数字水印的标准数字水印认证的标准等等都是急需的。

因为不同的数字水印算法如果不具备兼容性，显然不利于推广数字水印技术的应用。

同时还需要建立些测试标准，以衡量数字水印的稳健性和抗攻击能力。

这些标准的建立将会大大促进数字水印技术的应用和发展。

希望自己可以在数字水印领域贡献份力量。

周期周期周期水印算法算法原理嵌入算法原理图水印嵌入流程图原始图像变换二值水印置乱产生伪随机序列修改相应的幅度谱值变换嵌入水印图像子块划分图是嵌入算法流程图。

为了提高传统相关性检测方法的准确率，本算法采取嵌入两个不相关伪随机序列的方法，有效的提高了提取的准确率。

首先将原始图像划分子块，对每图像块进行变换，将二值水印图像用变换置乱。

产生两个伪随机序列。

置乱水印矩阵值为时用个伪随机序列与原始图像的幅度谱进行乘性叠加，矩阵值为时，用另个伪随机序列与原始图像幅度谱进行乘性叠加。

子块划分将原始图像分成的图像子块对每图像块进行变换，然后做平移，对于二维矩阵将三象限与二四象限互换，使得直流分量位于中间。

将二值水印用变换置乱产生两个不相关的伪随机序列修改相应幅度谱值由于域的幅度谱具有对称性，为了水印嵌入后保持这种对称性不变，也为了确保恢复图像像素值为实数，嵌入水印时采用对称嵌入，即式中为取复数的幅度，为嵌入信息。

嵌入规则为当水印矩阵元素为时，将个伪随机序列与幅度谱对应元素进行乘性叠加。

当水印元素为时，用另个伪随机序列与幅度谱对应元素进行乘性叠加。

嵌入时以滤波矩阵选择嵌入块中的位置。

对每图像块进行逆变换，得到含水印图像提取算法原理图水印提取流程图水印提取算法是嵌入算法的逆过程子块划分将嵌入水印图像分成的图像子块对每图像块进行变换，然后做平移，对于二维矩阵将三象限与二四象限互换，使得直流分量位于中间。

产生两个不相关的伪随机序列。

计算嵌入水印幅度谱与伪随机序列的相关性，并按照嵌入时的规则产生水印矩阵。

将水印矩阵用变换进行置乱得到提取水印。

算法的实现步骤嵌入算法步骤设置嵌入强度系数，滤波矩阵，分块大小并保存开始时间。

读入原始图像，并读出其尺寸为。

读入水印图像，并读出其尺寸为。

对进行置乱，并将置乱后水印图像重新排列为向量。

检查水印信息是否过大，如果水印信息过大返回信息，水印信息过大。

设置伪随机密钥，并按照滤波矩阵的的个数，生成两个不相关的伪随机序列，。