1、以下这些语句存在若干问题，包括语法错误、标点使用不当、语句不通畅及信息不完整——“.....要用到但,简记求和时，不必都用标准子程序。可以只用标准子程序求出其余则利用三角公式可以节省机时。总之算的公式如下,第章变换变换从,上的级数如果,则若形如的可以在更大区间上表示任意函数，从另个角度看,在上有更丰富的频谱，当时，由数学分析知积分，类似于复的，把积分放在复数域中就得到了变换。变换的定义设称为的变换，也记作ˆ反演公式ˆˆ相当于频率参数，ˆ认为是频域上的函数，在中，如果把变量看成时间参数，成为时域上的函数。与的系数同样ˆ连续频谱ˆ连续振幅谱ˆ连续功率谱功率密度......”。

2、以下这些语句存在多处问题，具体涉及到语法误用、标点符号运用不当、句子表达不流畅以及信息表述不全面——“.....令,般单位化。由于也单位化了。定义小波变换相当于频率，相当于位移频率移向高端例令,则,反演公式,等式令,证明ˆˆˆˆ,代入左边，有ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,即得在中令再令即得式的条件必要充分由可见也有类似窗口的作用。令可算出ˆˆ显然ˆ同样，窗口面积不能任意小注意相当于频率ˆˆ频率越高，窗口越大......”。

3、以下这些语句在语言表达上出现了多方面的问题，包括语法错误、标点符号使用不规范、句子结构不够流畅，以及内容阐述不够详尽和全面——“.....但由于突变的时间段上的不均匀性，的级数中附加了许多高频成分。级数表现在,上的整体性质。同时系数称为频谱具有定的物理意义称为离散振幅谱称为离散功率谱称为离散相位谱。现象设函数定义在,上是的第类间断点，在处有跃度设，是的级数的阶部分和，则离散级数在实际问题中常有这样的情况由在离散点上的值,给出，假设等分,等分,定义离散内积,可证对任何,，成立,,按离散内积组成正交系。注由于任次数不高于的三角多项式在任长度为的半开半闭区间上至多有个零点，离散内积在中满足正性，是内积，但在更大的空间中不满足正性，是拟内积。因此，任意函数在中的最佳逼近为其中,取......”。

4、以下这些语句该文档存在较明显的语言表达瑕疵，包括语法错误、标点符号使用不规范，句子结构不够顺畅，以及信息传达不充分，需要综合性的修订与完善——“.....在应用上适当选取，可以使展开式更有效，实际上，小波展开就是种广义级数。关于广义级数的收敛性即正交系的完备性完全性以及正交系的选取，展开技巧等。可参看泛函分析特殊函数论，以及计算方法等教材和专著。快速傅立叶变换三角函数插值或有限傅立叶变换设函数在区间上的个分点,上的值般是复数为已知。现在用已知的以为周期的周期函数,的线性组合,作在这个区间上的三角函数插值，也就是要求中的系数般是复数使在点,上有,也就是要求满足这在理论上容易办到。因为对每个，函数在,上的值组成个维向量而,时的个这种向量具有下列正交性当时,是显然的，至于，把它的左边记做，则是个等比级数，由于所以又因为所以，即式成立。有了和我们就容易从这组线性方程解出系数了用......”。

5、以下这些语句存在多种问题，包括语法错误、不规范的标点符号使用、句子结构不够清晰流畅，以及信息传达不够完整详尽——“.....的基在空间中，无条件基与基等价。正交基等式投影元的最佳逼近性标准正交基级数复的线性内积空间设为复数域上的线性空间，内积可能是复数应满足什么条件,保持保持性质,,内积常用,实变量复值函数,或,,收敛其中，，若，满足条件例如收敛级数有时取复数形式如果是实变量复值函数，由于当为实函数时,当，当在复形式中涉及频率为的两项当，实和复的级数可互化。有时复的级数更便于应用。级数也可写成把个复杂的函数分解成有限多或无穷多个振动的叠加，为振幅，为频率，为初相位。许多函数用级数能得到相当好的结果。对于些特殊情况，试看下面两个例子......”。

6、以下这些语句存在多方面的问题亟需改进，具体而言：标点符号运用不当，句子结构条理性不足导致流畅度欠佳，存在语法误用情况，且在内容表述上缺乏完整性。——“.....第章预备知识函数逼近的概念设是个函数,我们常用另个函数来近似代替它通常取在个线性空间中,关于空间的些预备知识线性空间线性赋范空间线性内积空间投影元最佳平方逼近特征定义设为线性赋范空间，,为中列元素。如果，则称在中收敛于记做同列在不同的中，其收敛性可能不同例,而,定义基设是线性赋范空间中的列元素，若，存在唯的数列使得，则称是的个基。记做例如,为的个基定义线性赋范空间中的级数称为无条件收敛的。若将级数的项任意重排后所得级数仍收敛于同，是自然数集的任置换空间中的基，如果对无条件收敛的，则称为无条件基。定义基空间中的基，如果存在常数，使得则称为基......”。

7、以下这些语句存在标点错误、句法不清、语法失误和内容缺失等问题，需改进——“.....乘中各式两端，再对从到求和，解出，就得到和起是及这两组数据之间的对互逆的变换关系，并列在起，有由求叫做的离散傅立叶变换，或者说是的离散傅立叶变换。由求则称为反变换。注意这组公式并不对称。与之间还有等式不论是按式求，还是按式求，运算都很简单，只是些复数乘法和复数加法。但是由算个要作个乘法和个加法，求出全部的就要做个乘法和个加法和个除法。当很大时，做起来就很费时间。直到上世纪年代提出了目前的快速算法，离散傅立叶变换才得到了广泛应用。所有快速算法的思想都是个，即尽量减少乘法。比如在算个的公式中，表面上有个含的项，而这个项中实际上只有个是不同的，即把中的各项先按归类，然后把同类项中的先加起来再和相乘，就可以减少许多操作。特别当时，乘法次数可以减少到，比如当，而计算量少了近倍，这就节约了计算的机器时间。注......”。

8、以下文段存在较多缺陷，具体而言：语法误用情况较多，标点符号使用不规范，影响文本断句理解；句子结构与表达缺乏流畅性，阅读体验受影响——“.....若,,包含的全部信息,从频域上看，我们同时有,证明据定义,大致来说,是反映的是在时域,和频域,上的信息，相当于在时频域上开了个面积为的窗口。不确定性原理定理设窗口函数,则证明不妨设ˆˆˆˆ当则中取等号称为变换将变换离散化，成为级数,成为,的组基。而对窗口变换，如果离散式,,构成，的组基，则或必有个,从而不能离散化......”。

9、以下这些语句存在多方面瑕疵，具体表现在：语法结构错误频现，标点符号运用失当，句子表达欠流畅，以及信息阐述不够周全，影响了整体的可读性和准确性——“.....都是实的。利用性质其余的如山形函数，函数等的参见相关教材窗口变换引入窗函数定义窗口变换,对于的，对不起作用，故有窗口性状，上式相当于在，附近开了个窗，只看在窗口部分的性状。例如,意义直观，但由于不连续，增加了附加的高频成分。改进或要求速降......”。