1、点Ⅰ求证∥平面Ⅱ求多面体的体积Ⅲ求二面角的正切值已知是矩形，设，⊥平面分别是的中点Ⅰ求证⊥Ⅱ若，且平面⊥平面，求二面角的大小Ⅲ在Ⅱ的条件下，求三棱锥的体积如图，正三棱柱的底面边长的，侧棱,是延长线上点，且Ⅰ求证直线平面Ⅱ求二面角的大小Ⅲ求三棱锥的体积如图，四棱锥的底面是正方形,⊥底面点分别在棱上，且⊥平面Ⅰ求证⊥Ⅱ求二面角的余弦值Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值第页共页如图，⊥平面，四边形是矩形，分别是的中点Ⅰ求证∥平面Ⅱ若二面角为，求点到平面的距离如图，正三棱柱为上点，且满足⊥求证截面⊥侧面求二面角的正弦值求直线与截面距离如图，已知正方形在水平面上的正投影投影线垂直于投影面是四边形，其中与重合，且证明平面，并指出四边形的形状如果四边形中中正方形的边长为，求平面。
2、分别为的中点证明⊥求二面角的个三角函数值求点到平面的距离第页共页如图在四棱锥中，底面为正方形，与底面垂直图，图为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为的全等的等腰直角三角形根据图所给的主视图侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面图形的面积图中，均为棱上的点，且，，分别为棱的中点，问在底面正方形的对角线上是否存在点，使平面若存在，请具体求出的长度若不存在，请说明理由已知梯形中，∥，分别是上的点，∥是的中点沿将梯形翻折，使平面⊥平面如图当时，求证⊥若以为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值当取得最大值时，求二面角的余弦值如图，在梯形中，∥，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上求证平面当为何值时，∥平面证明你的结论求二面角的。
3、，使与平面内任意条直线都垂直，证明你的结论如果在折成的三棱锥内有个小球，求出小球半径的最大值如图，正方体中，分别为棱的中点。求二面角的正切值证明⊥平面画出个正方体表面展开图，使其满足有个正方形面相连成个长方形的条件，并求出展开图中两点间的距离。如图，正方体，棱长为，分别为上的点，且当为何值时，三棱锥的体积最大求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值求异面直线与所成的角的取值范围第题图第题图第页共页已知，如图四棱锥中，底面是平行四边形，⊥平面，垂足为，在上，且，⊥是的中点，四面体的体积为Ⅰ求异面直线与所成的角Ⅱ求点到平面的距离Ⅲ若点是棱上点，且⊥，求的值如图，直三棱柱中,，为棱上的动点，分别为,的重心求证若二面角的大小为，求点到平面的距离。
4、与平面所成的锐二面角的余弦值三限时训练三棱锥中，是边长为的正三角形，平面⊥平面分别为的中点证明⊥求二面角的个三角函数值求点到平面的距离第页共页如图在四棱锥中，底面为正方形，与底面垂直图，图为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为的全等的等腰直角三角形根据图所给的主视图侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面图形的面积图中，均为棱上的点，且，，分别为棱的中点，问在底面正方形的对角线上是否存在点，使平面若存在，请具体求出的长度若不存在，请说明理由已知梯形中，∥，分别是上的点，∥是的中点沿将梯形翻折，使平面⊥平面如图当时，求证⊥若以为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值当取得最大平面所成的锐二面角的余弦值三限时训练三棱锥中，是边长为的正三角形，平面⊥平。
5、，取，则，，所以平面的个法向量为注法向量不唯，可以是与共线的任非零向量分,所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为分法由题意，正方形在水平面上的正投影是四边形，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值分而，，所以，图第页共页所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为分限时训练答案解法取中点，连结⊥且⊥，∩⊥平面，又平面，⊥,面面交于,,面取中点，为的中点，面⊥平面，过作⊥于，连结，则⊥为二面角的平面角平面⊥平面，⊥，⊥平面又⊥平面，∥，，且在正中，由平几知识可求得，在中，在中，，设点到平面的距离为⊥平面即点到平面的距离为解法二取中点，连结⊥。
6、为，且，所以是平行四边形且又是正方形且，所以，且，故是平行四边形，分从而，又平面，平面，所以平面分四边形是平行四边形注只需指出四边形的形状，不必证明分法因为，平面，平面，所以平面因为是正方形，所以，又平面，平面，所以平面分而平面，平面，，所以平面平面，又平面，所以平面分四边形是平行四边形注只需指出四边形的形状，不必证明分解依题意，在中，，在中，，所以注或分连结如图，在中，所以，故分法延长，相交于点，则，而，所以连结，则是平面与平面的交线在平面内作，垂足为，连结因为平面，平面，所以从而平面，所以是平面与平面所成的个锐二面角分图图第页共页在中，。
7、平面所以，平面即在底面正方形的对角线上存在符合题意的点，方法平面平面,⊥，⊥平面，⊥，⊥，又⊥，故可如图建立空间坐标系,，又为的中点则，第页共页专题复习立体几何高考题再现年如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点，的动点，点在边上，且⊥，现沿将折起到的位置，使⊥，记，表示四棱锥的体积求的表达式当为何值时，取得最大值当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，分别是，上的点，且，过点作的平行线交于求与平面所成角的正弦值证明是直角三角形当时，求的面积如图，已知正方体的棱长为，点是正方形的中心，点分别是棱,的中点设点,分别是点，。
8、，当时，三棱锥的体积最大取中点，由所以就是二面角的平面角在中，在上取点使，则，所以或补角是异面直线与所成的角在中，，在中，，在中，，在中，，因为，所以，，的平面角分在中，求出,故分中点为中点为为正三角形又知由,∥∥面，设到面距离为分分如图，已知正方形在水平面上的正投影投影线垂直于投影面是四边形，其中与重合，且证明平面，并指出四边形的形状如果四边形中，，，正方形的边长为，面射影在面为斜线又第页共页求平面与平面所成的锐二面角的余弦值证明依题意，平面，平面，平面，所以分法在上取点，使得，连结如图因。
9、且⊥平面⊥平面，平面∩平面⊥面，⊥分如图所示建立空间直角坐标系则⊥由得，设为平面的个法向量，则，取，，第页共页又为平面的个法向量由图知与的夹角即为二面角的大小，其余弦值为由得，为平面的个法向量，点到平面的距离即为在上射影的绝对值解该四棱锥相应的俯视图为内含对角线边长为的正方形如右图其面积为注图正确，面积计算体现了图形为正方形样给分以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系图略，则,设平面的法向量为由得令则，设，，则，由，得，即，又，点在上，。
10、若点在上的射影正好为，试判断点在的射影是否为并说明理由在中，，，为中点，为的中点，的延长线交于，将沿折起，二面角大小记为。求证面面为何值时，。第页共页三棱锥中，底面是顶角为的等腰，，，侧面与底面所成二面角为分别为和的中点求证无论，为何值时，点到截面的距离为定值求三棱锥的体积如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，侧棱与底面成的角，底面是边长为的正三角形，其重心为点。是线段上点，且求证∥侧面求平面与底面所成锐二面角的正切值如图，正三棱柱的底面边长为，点在上，是以为直角顶点的等腰直角三角形求证点为的中点Ⅱ求点到平面的距离Ⅲ求二面角的正切值第题图第页共页如图，已知多面体中，⊥平面，⊥平面，三角形是正三角形，且是的中。
11、在平面内的正投影求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积证明直线平面求异面直线与所成角的正弦值图图第页共页图如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外点满足，。证明已知点,为线段,上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值。图如图，在三棱柱中，侧棱底面为的中点,求证平面若四棱锥的体积为,求二面角的正切值如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面证明平面若，，求二面角的正切值第页共页二专题训练如下图，个等腰直角三角形的硬纸片中，是斜边上的高沿把折成直二面角如果你手中只有把能度量长度的直尺，应该如何确定，的位置，使二面角是直二面角证明你的结论试在平面上确定。
12、平面角的余弦值侧视图主视图图图图图第页共页参考答案解用直尺度量折后的长，若，则二面角为直二面角是等腰直角三角形，,又⊥，⊥是二面角的平面角有时当取的中心，连，则满足条件为正三角形，且三棱锥是正三棱锥，由为的中心，知⊥平面，与平面内任意条直线都垂直当小球半径最大时，此小球与三棱锥的个面都相切，设小球球心为，半径为，连结三棱锥被分为个小三棱锥，且每个小三棱锥中有个面上的高都为，故有代入得，即半径最大的小球半径为解连接交于，则⊥，连接⊥平面⊥分则为二面角的平面角在中，设，则分过点作⊥，则∥，连接又⊥平面，⊥平面又⊥⊥又∥，⊥，⊥又⊥平面⊥，所以⊥平面分，符合条件的正方体表面展开图可以是以下种之第页共页。
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