1、由，即，令，则得同理可求得平面的个法向量，故所求二面角的余弦值为栏目链接析疑难提能力栏目链接由于对各种角的概念理解不清致误典例如图所示，是直三棱柱，，点分别是和的中点，若，则与夹角的余弦值是栏目链接解析建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，分别为的中点异面直线与的夹角的余弦值为答案栏目链接易错剖析在空间中，两条异面直线所成角。
2、分别为和的中点，求直线与所成的角的余弦值解析方法同理，设直线与所成的角为则直线与所成的余弦值为栏目链接方法二如图，分别以方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系则，，故，，栏目链接设直线与所成的角为，则直线与所成的角的余弦。
3、，因此，即所求二面角的正弦值为栏目链接规律方法利用空间向量求二面角的方法设，分别是平面，的法向量，则向量与的夹角或其补角就是两个平面夹角的大小，求解步骤如下依据题设条件建立适当的空间直角坐标系求出两个平面的法向量由求，所成的锐角若二面角的平面角为锐角，则为所求，若二面角的平面角为钝角，则为所求栏目链接►变式训练在正方体中，分别为的中。
4、的范围是，直线与平面所成的角的范围是，两个平面所成的二面角的平面角的范围是本题中，两个向量所成的角为钝角，而两个向量所在的直线所成的角为锐角本题易得错误答案余弦值为空间向量与空间角栏目链接能用向量方法解决线线线面面面夹角的问题了解向量方法在研究几何问题中的作用栏目链接研题型学习法题型求直线与直线所成的角栏目链接例如图，在棱长为的正方体中，。
5、棱柱中，侧棱⊥底面，求证⊥平面若直线与平面所成角的正弦值为，求的值栏目链接证明取的中点，连接因为所以四边形为平行四边形，所以且在中，因为，所以，所以，即⊥，又因为，所以⊥因为⊥平面，⊂平面，所以⊥又∩，所以⊥平面栏目链接解析以为原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面的法向量，则由，得，取，得栏。
6、方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面的法向量，则由，得，取，得栏目链接设与平面所成角为，则，，解得，故所求的值为规律方法利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤建立空间直角坐标系求直线的方向向量求平面的法向量计算设线面角为，则栏目链接►变式训练已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，。
7、间直角坐标系设边长为，则所以平面的法向量，则与底面所成角的正弦值为，答案题型三求二面角的平面角栏目链接例辽宁卷如图所示，和所在平面互相垂直，且，法向量，则与底面所成角的正弦值为，答案题型三求二面角的平面角栏目链接例辽宁卷如图所示，和所在平面互相垂直，且，分别为，的中点求证⊥求二面角的正弦值栏目链接证明由题意，以为坐。
8、，所以直线和所成角的大小为答案题型二求直线与平面所成的角栏目链接例福建卷改编如图，在棱柱中，侧棱⊥底面，求证⊥平面若直线与平面所成角的正弦值为，求的值栏目链接证明取的中点，连接因为所以四边形为平行四边形，所以且在中，因为，所以，所以，即⊥，又因为，所以⊥因为⊥平面，⊂平面，所以⊥又∩，所以⊥平面栏目链接解析以为原点，的方向为轴的正。
9、目链接设与平面所成角为，则，，解得，故所求的值为规律方法利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤建立空间直角坐标系求直线的方向向量求平面的法向量计算设线面角为，则栏目链接►变式训练已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于栏目链接解析如图，设在平面内的射影为，以为坐标原点分别为轴轴建立空。
10、点如图，求平面与平面所成锐二面角的余弦值解析设正方体棱长为以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，栏目链接方法取的中点，连结则为等腰三角形，⊥，⊥为二面角的平面角或其补角由于，，故所求二面角的余弦值为栏目链接方法二设平面的法向量由于，。
11、标原点，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得因而，，所以因此，从而⊥，所以⊥栏目链接解析如图，平面的个法向量为设平面的法向量，又，，由得其中个设二面角的大小为，且由题知为锐角，则，。
12、值为规律方法用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角的取值范围是两向量的夹角的取值范围是所以栏目链接►变式训练如图所示，在三棱柱中，⊥底面，点，分别是棱，的中点，则直线和所成角的大小是栏目链接解析分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示设，则，，所以。
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高中数学3.2.3空间向量与空间角课件新人教A版选修2-1