球调和函数方面汤姆森的工作实践探究（自然科学史论文） ㊣ 精品文档 值得下载

态温度分布。

在温度稳态分布情况下，傅立叶发现温度函数满足拉普拉斯方程，通过变量分离法给出了稳态热传导方程的角级数形式解，即傅里叶级数。

傅立叶在书中试图说服读者，在更般情况下，角级数形式的解同样成立，即任意函数都可以表示成为傅立叶级数形式，但关于个函数表示成傅立叶级数的充分条件及更严格的证明，在年后由狄利克雷，给出球形状刚性时引力及弹性的相对值，令我惊讶地发现，除非地球具有非常高的刚性，否则引力在这种效应中的影响大于弹性因此很明显，除非地球的平均物质比钢更坚硬，否则它的形状必须屈服于月亮和太阳的扭曲力为了说明这个结论，我已经研究了在任意给定的扰动力的影响下均匀弹性球体所经历的形变，汤姆森关于潮汐的工作通常是指比较早期的平衡潮汐理论，由于月球吸引产生的潮汐就像围绕在地球表面的条带，它将跟随月亮绕地球旋转，其中地球被假定是由海洋覆盖且具有完全刚性的完美椭球体。

因此基于以下事实当个与地球等质量同大小的不可压缩液体球，或者个被无穷小密度的海洋覆盖着的完美刚性球体，受到潮汐力时，其表面产生的潮汐高度被称之为真正的平衡高度，即相对于陆地的最高水位与最低水位差，记为，但由于地球刚性及地理等因素的影响，实际潮汐高度与真正平衡高度并不致。

为了寻找实际高度平衡高度。

年，在进入剑桥之前汤姆森已经在格拉斯哥大学跟随威廉米科勒姆教授学习自然哲学年春天，天文学家约翰普林格尼科尔将傅里叶的热的解析理论推荐给了汤姆森，他仅用了两个星期便掌握了这部著作中的内容。

为了追溯傅立叶对汤姆森在球调和函数方面的影响，我们先对傅立叶的偏微分方程求解工作给予回顾。

傅立叶在年的著作热的解析理论中讨论的第个问题是处理半无限矩形平板中的稳态温度分布。

在温度稳态分布情况下，傅立叶发现温度函数满足拉普拉斯方程，通过变量分离法给出了稳态热传导方程的角级数形式解，即傅里叶级数。

傅立叶在书中试图说服读者，在更般情况下，角级数形式的解同样成立，即任意函数都可以表示成为傅立叶级数形式，但关于个函数表示成傅立叶级数的充分条件及更严格的证明，在年后由狄利克雷，给出。

针对这结果，傅立叶的方法是第，分离变量，求特球调和函数方面汤姆森的工作实践探究自然科学史论文中国数学史研究范式的转换中国科技史杂志，穆蕊萍，曲安京，赵继伟关于汤姆森在球调和函数方面的工作之历史探析自然辩证法通讯，基金国家自然科学基金项目代数方程之理论的若干历史问题研究项目编号。

世纪初期，地质学家和物理学家之间就地球内部结构进行了激烈的争论。

地质学家解释了火山和山脉的形成，而这些解释都建立在地球有个融化核心的假设之上，并且这核心被到英里的地壳所包围。

但在维多利亚时期，这观点被以霍普金斯为代表的自然哲学家基于天文理由而反对，其学生汤姆森更是从物理和数学角度讨论了地球的内部刚性。

同时，基于早期对傅立叶热的解析理论，及热力学基本原理的研究，初期汤姆森对地球年龄的估计产生了浓厚的兴趣。

第篇文章是于年月向皇家学会伦敦作的报告关于地球的冷却，他试图根据地球温度梯度来确定地质历史的初始时间，进而确定地球的年龄，由于地球表面的，即地球为均匀不可压缩固体球，给出了不完美刚性球体表面实际观测到的潮汐高度与完美刚性假设下真正的平衡高度之间的关系，推测出地球的刚性定比玻璃大，甚至比钢的刚性还要大。

最后给出与刚性对应的实际潮汐高度的数量关系，当地球是完美刚性时，潮汐高度为英寸当地球刚性如钢或者玻璃样，高度分别为英寸或英寸。

结语汤姆森早期研究内容主要集中在地球形状，地球年龄和地球刚性等大类关于边界面为完全球面两个同轴球面椭球面以及不完全球面的物理问题，勒让德拉普拉斯的势理论傅立叶的热的解析理论为汤姆森判断地球年龄奠定了数量基础。

为了寻找适当形式的函数解，汤姆森引入了球调和函数并给出其性质，并将般函数表示成球面调和函数的级数和形式，这不仅成为拉普拉斯方程求解的重要工具，促进了微分方程的数学发展，而且成了当时判断地球刚性地球年龄的物理权威。

汤姆森还根据球调和函数的不同阶结合他在文章第节所说的目前弹性平衡固体理论存在如下般问题，给定个任意形状的固体，若作用在其表面的任意外力或者边界面位移给定，则需要找出其中每个点的位移。

本文的目的是针对由各向同性弹性材料构成，并由两个同心球所构成的壳体情况，给出这问题的解，可以看出汤姆森想从两个方面寻找弹性固体发生形变时任点处位移分量的完全解，即给定物体表面位移或给定物体表面所受外力。

第种情况，当球体表面任意点处的位移分量给定，式可写成，同时求解满足边界约束条件的特解最终确定的微分形式完全解第种情况，当球体表面所受外力给定，以同样的步骤可确定位移分量的完全解。

这过程是按照本文第部分第小节提到的个步骤完成的。

接着汤姆森借助球体的轴对称性质考虑了球体沿轴半径方向的位移，并给出了球体在赤道半径方向产生位移的代第，在此基础上汤姆森将任意球调和函数按的微分形式展开，将其中的直角坐标转换到对应的虚数坐标，并借助莱布尼兹定理，将每微分项展开再将虚数坐标转换为极坐标，得到阶完全球面调和函数的角扩张表示形式其中就是拉普拉斯系数。

同时，汤姆森借助格林定理证明了两个不同阶且不互逆的球面调和函数的正交性质。

如同在傅立叶级数表达式中的作用样，正交性是级数表达式中各项系数的重要性质。

第，有了球面调和函数的表示，将任意函数表示成球面调和函数级数和形式就不难实现了。

在附录的部分，汤姆森利用球调和函数性质，重新考虑了球面情况下的格林问题，并给出了任意函数的球面调和函数级数和形式，如下其中为空间任意点，为球面调和函数，为球面上的给定值。

上述就是汤姆森利用创新数学方法将完全球面调和函数表示成角级数和的形式，再用球面调和函数表示任意函数过程。

他借两个独立变量的任意周期函数，推导出空间每个点的解。

，如果把这目的比喻成座高山，为了达到这个目标而构建的套理论的发展历史，就是历代数学家前仆后继登顶的过程，而汤姆森就是众多登山者中的登顶者。

数学史研究的个重要任务就是对历史上的些重要数学工作找寻根据，我们不但要弄明白历史上的相关数学问题是怎么做出来的，而且还要进步对数学家们当时是如何提出新问题，引入新方法以及创造新概念的过程进行较为全面系统的研究。

那么，汤姆森为什么要寻找适当形式的球面调和函数表达式怎样建立起球调和函数解决了哪些问题这切的思想起源是什么目前有关汤姆森在球调和函数方面的工作描述，大都只是提到汤姆森曾将拉普拉斯系数称为球调和函数，未对其形成过程和相关物理应用进行讨论。

鉴于此，本文拟在研读原始文献的基础上，对这些问题进行探析，进而使我们更好地理解世纪数学物理的特征及意义。

调和函数并给出其性质，并将般函数表示成球面调和函数的级数和形式，这不仅成为拉普拉斯方程求解的重要工具，促进了微分方程的数学发展，而且成了当时判断地球刚性地球年龄的物理权威。

汤姆森还根据球调和函数的不同阶数和次数，分类了带调和函数扇形调和函数扇形调和函数。

英国数学家拉弗物理学家麦克斯韦等人都受到了汤姆森的影响，尤其是麦克斯韦在发展了球调和函数的极点，用极点来表示般的球体调和函数及球面调和函数达尔文在其年发表的文章中依据汤姆森关于弹性平衡方程的解，讨论了均匀不可压缩弹性球的内部压力及应力状态等问题，并将结果应用到了地球的情形。

关于汤姆森对地球年龄的估计，后来被认为是维多利亚时期最为著名的，但这过程中，汤姆森所创造的球调和函数方法及计算是准确无误的，他的助手约翰佩里于年在自然上发表的文章关于地球的年龄已证明了这点。

参考文献莫里斯克莱表面所受外力给定，以同样的步骤可确定位移分量的完全解。

这过程是按照本文第部分第小节提到的个步骤完成的。

接着汤姆森借助球体的轴对称性质考虑了球体沿轴半径方向的位移，并给出了球体在赤道半径方向产生位移的代数表达式文章结尾，汤姆森希望将及代数表达式应用在地球的刚性判断中，他这样说道我希望未来在与皇家学会交流时，将这些结果应用到太阳与月球对天体的影响中，如地球被许多地质学家假设为个坚固的厚度小于英里，内部充满流体的球壳。

这不可靠的假设在年月的文章中被充分证明上述代数式被应用在这篇文章的第十节很显然，数学结果式即第节中的，根据之间的关系，可推导出与的关系其中为刚性，为单位体积质量，为球体表面单位质量处的万有引力，为球体半径，同时汤姆森借助其哥哥詹姆斯关于铁的刚性的实验数据，分别计算了当为钢或玻璃的刚性时，球体长的球面调和函数级数和形式，如下其中为空间任意点，为球面调和函数，为球面上的给定值。

上述就是汤姆森利用创新数学方法将完全球面调和函数表示成角级数和的形式，再用球面调和函数表示任意函数过程。

他借用傅立叶所采用的程序，给傅立叶级数添加了个特殊的系数，即拉普拉斯系数，进而将结果命名为球调和函数，正如他在书中所说不熟悉傅里叶方程理论的读者，可以毫不费力地验证，傅立叶那部令人钦佩的作品中所形成的原理在当前运算中的应用。

它对分数或虚数阶的解释非常有趣，并且对部分球调和函数的物理应用具有明显的价值。

，接下来，我们看看汤姆森是如何应用球调和函数，解决本文第部分的物理问题求解弹性平衡方程判断地球刚性。

物理问题的解决在本文第节方程的基础上，汤姆森在第篇文章中借助球调和函数的相关结果，式，及，式，求得了式的般解，即，其中，即为球调和函数。

球调和函数方面汤姆森的工作实践探究自然科学史论文先，给出套关于两个球体调和函数之间的互逆关系，以及球体调和函数与球面调和函数的数学关系式如果是满足上述定义的阶球体调和函数，则也是满足拉普拉斯方程的