探究有限域子集上的Hermite判别法及推广（数论论文） ㊣ 精品文档 值得下载

次数为的多项式不是置换多项式，若存在正整数，使得满足前个条件，那么的值集大小−−，−−其中为满了以下结论定理有限域上多项式是置换多项式，如果存在正整数，使得−−等价地，我们有等价描述若有限域上次数为的多项式不是置换多项式，那么对任意满足−的正整数，的值集大小−−，有值集大小上界−−−最近，张起帆利用线性代数理论推广了判别法张起帆注意到，在有限域上判别法恰好可以看作探究有限域子集上的判别法及推广数论论文有代表性的相关成果，利用公式，对大特征情形给出了个非常简洁的证明他得到定理，有限域上多项式是置换多项式，当且仅当存在正整数，使得满足前个条件−推论有限域上多项式是置换多项式，如果存在正整数，使得−−等价地，有等价描述若有限域上次数为的多项式不是置换多项式，那么对任意满足条件等价于的次数小于，即有常见版本的判别法定理判别法，经典形式是置换多项式⇔下列两个条件成立在中恰有个零点的次数小于，其中置换多项式，虽然定义简单，但却难于研究为此，人们引入了例外多项式的概念来帮助研究置换多项式例外多项式最早由提出，基于几何性质定义，更易通过较为深，通过引入有限生成代数的观点，说明对于有限域上子集也有类似有限域上判别法的结论成立，且可将些基于有限域上判别法的研究成果平行地推广到子集上相关背景回顾本节主要回顾本文将会用到的已有研究成果与结论由于任意个到上的函数，都可唯表示为上次数小于的多项式，对于有限域上的双射函数自然转化为对置换多项式的研究置换多项式的研究已有相当长的历史这方面的摘要利用有限生成代数的语言重述关于置换多项式的经典的判别法，并将其推广到有限域的子集上，另外也推广了其他些关于有限域上置换多项式的结果，并给出了定条件下相关函数的值集大小估计最后，给出主要结果在有限域上阶单位根群中的应用实例，并得到了些有趣的结果关键词判别法双射子集数论有限域有限生成代数置换多项式在数论研究中，关于有限域的研究占据了相当重要的地位有限域在现代是上双射，如果存在正整数，使得，−−其中是在上的插值多项式等价地，我们有等价描述假设函数不是双射，为插值多项式的次数，若，那么对任意满足−的正整数，取值个数不能多于，函数值集大小有上界估计−−−结论通过导入有限生成代数观点，将有限域上判别法单位根群，其中∣关于次单位根群的其他性质，详情参见文献上所有函数的集合显然构成上有限生成维代数，进步有自然的同构≅对子集，有定理是次单位根群上的双射⇔⋯，−⇔−无常数项，其中，⋯，−证明对，应用定理，有为到上的双射⇔，注意到次单位根群是循环群，射，如果存在正整数，使得−−其中是使得，成立的最大的证明注意到有自然的多项式表示，从而可由的不超过次幂的迹线性表出，而所给条件表明对，这些迹均为，从而和均为，满足迹等式条件，从而由定理得证最后，同置换多项式的情况类似，如果到上函数在上不满，且满足前些迹等式条件，那么不能包含，那么定理自然导出上经典形式的判别法，因而定理确为判别法在子集上的推广进步地，利用类似方法，有定理对到上函数，是上双射当且仅当存在正整数，使得，∩−特别地，限制为到上函数，则是上双射当且仅当存在正整数，使得，−证明同定理样构造多项式函数，迹等式条件探究有限域子集上的判别法及推广数论论文功推广到了其子集上，并在子集上推广了有限域上的函数相关的多个重要结果，并给出了计算实例为有限域相关的理论在般子集上的推广提供了个新思路，主要结果对于有限域上特定子集的函数及自同态相关研究也有定意义参考文献冯克勤代数数论北京科学出版社，郭异，张起帆有限域子集上的判别法及推广西南民族大学学报自然科学版，基金国防应用项目探究有限域子集上的判别法及推广数论论文数，是上双射当且仅当存在正整数，使得−等价地，我们有等价描述假设函数不是双射，如果存在正整数使得，那么取值个数不能多于，函数值集大小有上界估计−−其中是使得，成立的最大的最后，若插值多项式无常数项且次数足够小，那么可以导出与万大庆类似的结果推论对到上函数，理，令为有限域上个给定的元子集设为到上的所有函数全体构成的集合，则也构成上有限生成的维代数，且有自然的同构≅此处∏∈−为集合的极小多项式，即零化的次数最小的多项式进步地，对，依然有组自然的基，此处仍为中元素的特征函数，而的对应特征值恰为，从而有∈，特别地ξ，其中ξ为次本原单位根，从而只需验证前个迹等式条件成立≠时，ξ≠，从而−ξξ−ξ−而时自然成立，从而第个等价条件成立又对插值多项式−，有−即知第个等价条件成立特别地，当时补充定义，则上述定理自然导出判别法定理进步地，我们有推论推论对到上多中的元素否则依前述，为双射，矛盾由此，我们可以将中多项式上界估计推广到子集上事实上，我们有推论，≠使得那么不能包含多于个中的元素特别地，∩−−若限制为到上函数，则函数值集大小有上界估计−−其中是使得，成立的最大的特殊子集上的讨论作为应用实例，考虑中阶子群，即自然成立只需再注意到∩−−−由定理即知必然是上的置换多项式，从而必然是到上的双射现在考虑次数推论的推广考虑的插值多项式，我们有推论对到上函数，是上双射，如果存在正整数满足−∩−其中是使得，成立的最大的特别地，限制为到上函数，则是上∈之后讨论中，若无特别注明，均将中函数对于的迹略写为主要定理与推论定理对到上函数，有为到上的双射⇔，这里右侧等式中指上的恒等函数证明必要性显然，只需证明充分性事实上，令∈为满足下列条件的多项式函数那么在此定义下，至少有个单簇点，且有由定理，必然是上的置换多项式，从而必然是到上的双射如果探究有限域子集上的判别法及推广数论论文述知，对∀∈，可以定义对于的迹进步地，对，有组自然的基，此处为中元素的特征函数，而在这组基下，对应特征值恰为，从而有∈，特别地∈利用上述的结果，我们也可重述判别法为定理判别法，迹形式是置换多项式⇔，前个条件的最大的，而且万大庆与张起帆的结果均可导出定理些预备工作首先介绍下所要用到的有限生成代数相关知识详细参见文献，令为个域，称为域上有限生成维代数，若既是域上维向量空间，本身又是环，且满足ξηξηξη，∀ξ，η∈，∈对∀ξ∈，存在自然的线性变换ξξξ，∀∈自然对线性变换ξ，可以定义线性代数的迹ξ，从而也公式的补充在的证明中使用判别法取代公式，就可以规避小特征障碍，从而改进了的结果，并得到了个完全线性代数化的初等证明事实上，他得到了定理有限域上多项式是置换多项式，当且仅当存在正整数，使得满足前个条件−定理有限域上多项式是置换多项式，当且仅当存在正整数，使得，−的正整数，的值集大小−−，有值集大小上界−−−这个上界对于的情况相当好，但对于般情形，公式可能失效，因而不适用于小特征情形年，万大庆注意到推论包含了比定理充分利用这个条件，万大庆成功将的证明提升到了公式适用的数域上，从而克服了小特征障碍，给出了定理的个新的完整证明事实上，他得的几何工具来帮助研究基于估计可知，次数远小于的置换多项式均为例外多项式另方面，由猜测，并由证明了下列重要定理定理，上例外多项式都是置换多项式进步的，等人，于年几乎完全刻画了有限域上例外多项式，取得了对有限域上置换多项式的结构刻画的重大进展给出的证明大量利用了群论工具，这使得证明稍显复杂其后多人改进拓展了这个证明，下面列举期结果，参见称上多项式满足第个条件，若成立等式∈∈换多项式，有下面的重要结果定理判别法是置换多项式⇔满足前个条件由于对有限域，有正交性∈，−，−−因此，对上多项式，∈由的次项决定进而，对，满足前个代数学及计算机科学的多个领域都有着重要的应用令为元有限域，其中，我们自然对上的函数及其性质感兴趣特别地，对上的双射函数，自世纪以来，已有学者进行了大量研究，重要的成果包括及，尽管关于有限域上的双射已有不少重要成果，关于有限域上子集的函数却缺少相关研究本文研究重点将集中于有限域上子