的方程为点评解决平面图形面积问题时，要重视画图，结合图形，将面积问题转化为定积分问题本题中，如果不结合图形，那么很难找到关于定积分的等式∫，又，，解得直线的图形的面积为，抛物线与轴围成的图形的面积为则，，值定积分的综合应用解析如图所示由方程组，解得或，则，设直线与抛物线围成直线分抛物线与轴所围成的图形为面积相等的两部分，求的值及直线的方程分析利用图像分清直线所分割成的两部分图形，再分别用定积分表示，利用代数关系列方程求出的性可知积分求旋转体的体积试证明椭圆绕轴旋转而成的几何体的体积是点评利用图形的对称性求解，可以使运算量减少解析因为，所以依椭圆的对称在段时间内的路程体现了无限细分和无穷累积的思维方法定积分的计算求下列定积分即时，和式的极限就是所求的物体在时间区间，上所经过的路程由此得到ξ点评用分割近似代替求和取极限这四个步骤求曲边梯形的面积和变速运动物体以用这物体分别在个小区间上做个匀速直线运动的路程和近似代替即ξ取极限当所分时间区间越短，即越小时，和式的值就越接近因此，当，所经过的距离可以近似地表示为ξ„，求和因为每个小区间上物体运动的距离可以用这区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间，范围内物体运动的距离，就可动的路程近似代替变速直线运动的距离在小区间，上任取时刻ξ„用时刻ξ的速度ξ近似代替第个小区间上的速度由匀速直线运动的路程公式，每个小区间上物体运动分割将时间区间，分成等份，„每个小区间所表示的时间为，各区间物体运动的距离记作„，近似代替在每个小区间上以匀速直线运知识结构专题研究已知运动物体做变速直线运动，它的速度是时间的函数，求物体在到这段时间内所经过的路程定积分的概念解析第个小圆台的体积近似为该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和这个问题是积分问题，则有个“小长条”的宽是，„，这个“小长条”绕轴旋转周就得到个厚度是的小圆片，如图所示当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱，因此，轴旋转周所得旋转体的体积为在区间，内插入个分点，使„，把曲线，分割成个垂直于轴的“小长条”，如图所示设第轴旋转周所得旋转体的体积为在区间，内插入个分点，使„，把曲线，分割成个垂直于轴的“小长条”，如图所示设第个“小长条”的宽是，„，这个“小长条”绕轴旋转周就得到个厚度是的小圆片，如图所示当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱，因此，第个小圆台的体积近似为该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和这个问题是积分问题，则有知识结构专题研究已知运动物体做变速直线运动，它的速度是时间的函数，求物体在到这段时间内所经过的路程定积分的概念解析分割将时间区间，分成等份，„每个小区间所表示的时间为，各区间物体运动的距离记作„，近似代替在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离在小区间，上任取时刻ξ„用时刻ξ的速度ξ近似代替第个小区间上的速度由匀速直线运动的路程公式，每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为ξ„，求和因为每个小区间上物体运动的距离可以用这区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间，范围内物体运动的距离，就可以用这物体分别在个小区间上做个匀速直线运动的路程和近似代替即ξ取极限当所分时间区间越短，即越小时，和式的值就越接近因此，当，即时，和式的极限就是所求的物体在时间区间，上所经过的路程由此得到ξ点评用分割近似代替求和取极限这四个步骤求曲边梯形的面积和变速运动物体在段时间内的路程体现了无限细分和无穷累积的思维方法定积分的计算求下列定积分积分求旋转体的体积试证明椭圆绕轴旋转而成的几何体的体积是点评利用图形的对称性求解，可以使运算量减少解析因为，所以依椭圆的对称性可知直线分抛物线与轴所围成的图形为面积相等的两部分，求的值及直线的方程分析利用图像分清直线所分割成的两部分图形，再分别用定积分表示，利用代数关系列方程求出的值定积分的综合应用解析如图所示由方程组，解得或，则，设直线与抛物线围成的图形的面积为，抛物线与轴围成的图形的面积为则，，，又，，解得直线的方程为点评解决平面图形面积问题时，要重视画图，结合图形，将面积问题转化为定积分问题本题中，如果不结合图形，那么很难找到关于定积分的等式∫限时训练答案选择题等于解析设，则，因而表示圆在轴上方，的面积，即圆面积的，即由及在，时所围成的图形的面积为答案解析所围成图形的面积为答案由曲线，围成的平面图形的面积可以表示为解析如图所示，阴影部分的面积为，则，其中即由曲线及轴围成的平面图形的面积，即由直线及轴围成的平面图形的面积所以故选二填空题求由围成的曲线梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间是答案，解析如图，阴影部分就是所求曲边梯形面积，积分区间为，三解答题利用定积分的几何意义，求，其中解析为奇函数利用定积分的几何意义，如图成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修定积分第四章第四章章末归纳总结知识结构知识梳理专题研究限时训练知识梳理曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线，轴与直线所围成的，如图所示计算时可分为四步分割近似代替求和取极限定积分概念的注意事项关于定积分应注意积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关即定义中区间的分法和取法都是任意的定积分概念的引申定积分的几何意义，，表示曲边梯形在轴上方，，表示曲边梯形在轴下方如图所示，当在区间，上部分大于，另部分小于时，且各部分面积分别为则定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质为常数若在区间，上则推论若在区间，上则推论计算平面图形的面积由直线，轴及曲线所围成的曲边梯形的面积若，上则，如图所示若在，上则，如图所示若在，上在，上则，如图所示由直线，轴及曲线，所围成的曲边梯形的面积，如图所示简单几何体的体积设由曲线，直线，与轴围成的平面图形如图所示绕轴旋转周所得旋转体的体积为在区间，内插入个分点，使„，把曲线，分割成个垂直于轴的“小长条”，如图所示设第个“小长条”的宽是，„，这个“小长条”绕轴旋转周就得到个厚度是的小圆片，如图所示当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱，因此，第个小圆台的体积近似为该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和这个问题是积分问题，则有知识结构专题研究已知运动物体做变速直线运动，它的速度是时间的函数，求物体在到这段时间内所经过的路程定积分的概念解析分割将时间区间，分成等份，„每个小区间所表示的时间为，各区间物体运动的距离记作„，近似代替在每个小区间上以匀速直线运动的个“小长条”的宽是，„，这个“小长条”绕轴旋转周就得到个厚度是的小圆片，如图所示当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱，因此，知识结构专题研究已知运动物体做变速直线运动，它的速度是时间的函数，求物体在到这段时间内所经过的路程定积分的概念解析动的路程近似代替变速直线运动的距离在小区间，上任取时刻ξ„用时刻ξ的速度ξ近似代替第个小区间上的速度由匀速直线运动的路程公式，每个小区间上物体运动以用这物体分别在个小区间上做个匀速直线运动的路程和近似代替即ξ取极限当所分时间区间越短，即越小时，和式的值就越接近因此，当，在段时间内的路程体现了无限细分和无穷累积的思维方法定积分的计算求下列定积分性可知值定积分的综合应用解析如图所示由方程组，解得或，则，设直线与抛物线围成，又，，解得直线