【26页】毕业论文_求围线上的复积分的几种方法文档优秀范文 ㊣ 精品文档 值得下载

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论文作者签名年月日摘要前言第章柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理的推论利用柯西积分定理推广到复围线形式第二章柯西积分公式及推论柯西积分公式柯西积分高阶导数第三章留数定理孤立奇点定义及分类留数的定义与求法留数定理小结参考文献致谢哈尔滨学院本科毕业论文设计摘要复变函数研究的主要对象是解析函数，复变函数的积分是研究解析函数的重要工具。

由于解析函数的特性，形成了复积分丰富的理论知识和繁多的计算方法。

因此，对于计算个积分问题，选择了适当的计算方法，便能较快较准确地得出结果。

本文对复积分的计算方法和技巧进行整理。

在本文里我们将要研究围线上的复积分的几种解决方法，并进行归纳总结联系和区别首先研究柯西积分定理和它的推广，其次研究柯西积分的推论，最后研究留数定理及与柯西积分定理柯西积分公式等之间的关系及推导。

通过柯西积分定理柯西积分公式柯西高阶导数公式等来计算复积分，从中揭示诸多的联系，对复积分的计算方法做出比较系统的归纳总结，从中概括出求围线上的复积分的几种方法的解题方法和技巧。

关键词柯西积分定理柯西积分公式柯西积分定理的推论柯西高阶导数公式留数定理。

哈尔滨学院本科毕业论文设计，哈尔滨学院本科毕业论文设计前言复数的概念起源于求方程的根，在二次三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。

在很长时间里，人们对这类数不能理解。

但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来，并将其定义为复数以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

复变函数是讨论解析函数的几种性质，而复变函数的积分问题是讨论的重点，但在实际求函数在围线上的积分由于其方法较多，简繁程度不同，所以选择何种方法求其积分值显得尤为重要。

在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数中的许多重要的性质都要利用复变函数积分证明，柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键的地位，柯西积分公式柯西高阶导数和留数定理对复积分的计算起到很大作用。

留数定理不仅可以用来计算复积分，而且也可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合在起。

年月高等函授学院的张昆实教授研究的留数定理与复变函数的积分，讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理柯西积分定理柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切联系。

年月淮南师范学院的崔东玲研究的复积分的计算方法，他通过变量替换。

柯西积分公式柯西积分定理留数定理，从中揭示诸多方法的内在联系。

他们在研究复积分的计算方法这方面取得了许多的进展，证明了复变函数积分的计算方法，复变函数积分的方法灵活多样，而且目前对复变函数积分的计算方法做出了比较系统的归纳和总结还很少见。

哈尔滨学院本科毕业论文设计第章柯西积分定理复变函数的积分是定积分在复数域中的自然推广，二者的定义在形式上相似，都是和的极限，但本质不同。

复积分是把定积分的被积函数从实函数换成了复函数积分区间换成了复平面上的条有起点和终点的光滑曲线，不妨设起点为，终点为，于是，复积分正是复积分与定积分的不同，导致了二者的计算方法不样。

下面根据被积函数的解析性特点，讨论积分路径是封闭曲线时相应的复积分的计算方法。

柯西积分定理柯西积分定理从上节所举的例题来看，例题的被积函数在单连通区域平面上处处解析，它沿连接起点及终点的任何路径的积分值都相同，即积分与路径无关，或者说沿平面上任何闭曲线的积分为零例题的被积函数，只以为奇点，即在平面除去点的非单连通区域内处处解析，但是积分，其中表圆周，即在此区域内积分与路径有关例的被积函数在单连通区域平面上处处不解析第二章习题，而积分与连接起点及终点的路径有关，即沿平面上任何闭曲线的积分，其值不恒为零。

由此可见，复积分的值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。

年柯西给出如下的定理，它是研究复变函数的钥匙，常称为柯西积分定理。

定理设在平面上的单连通区域内解析，为内任条围线，则要证明这个定理是比较困难的。

年，黎曼在附加假设在内连续的条件下，得到个如下的简单证明。

黎曼证明令哈尔滨学院本科毕业论文设计，，由公式得，而在内连续，导致，在内连续，并适合条件，由格林公式得，，故得柯西将复变函数作为复变数的元函数来研究。

他定义解析函数为在区域内存在并连续。

年古莎发表上述定理的新的证明方法，无须将分为实部与虚部。

更重要的是免去了为连续的假设。

因此，的连续性假设不仅在柯西积分定理中可以省略，同时对解析函数的定义也像我们现在样定义定义，只须在区域内存在，不必假设连续。

柯西积分定理的古莎证明比较长，我们就不给予证明。

例计算积分，其中为圆周分析在复平面上，被积函数，有奇点，在的外部。

解积分路径是圆周被积函数，奇点为，在的外部。

则在以为边界的闭圆上解析，所以哈尔滨学院本科毕业论文设计柯西积分定理推论柯西积分定理推论设是条围线，为之内部，在闭域上解析，则证由定理推证定理，由定理的假设，必在平面上含的单连通区域内解析，于是由定理就有由定理推证定理，由定理的假设在单连通区域内解析，为内任条围线，今设为之内部，则必在闭域上解析于是由定理就有下面的定理要比定理更般，它是从个方面推广了的柯西积分定理。

设是条围线，为之内部，在内解析，在上连续也可以说连续到，则应用柯西定理的推论计算积分的时候，要注意下几点是要注意曲线的不可方向二是要注意必须是简单的闭曲线三是要注意内部若干条曲线互不包含互不相交四是注意全部的曲线构成区域边界。

当仅当这些条件都完全符合时，才可以用柯西积分定理的推论，把区域外边界线的回路积分化为沿区域边界的回路积分，利用些已知的结果使积分易于计算。

例计算下列积分，其中为右半圆周起点为，终点为，其中取那支。

解因为的支点为，∞，所以它在闭圆上单值解析于是由柯西积分定理哈尔滨学院本科毕业论文设计因为在，≠上解析，故因为的支点为，∞，其单值分支在圆内解析，并连续到边界，所以由柯西积分定理图利用柯西积分定理推广到复围线形式下面我们从另个方面再推广柯西积分定理，即将柯西积分定理从以条单围线为边界的有界单连通区域，推广到以多条围线组成的复围线为边界的有界多连通区域。

设是由复围线„„围成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则沿外边界逆时针方向积分等于沿内边界逆时针方向积分之和，，此时，被积函数在内部的奇点不止个。

例计算，其中为圆周分析被积函数哈尔滨学院本科毕业论文设计，在复平面上有个奇点，，它们都在积分路径的内部，所以首先分别以奇点，为圆心，做两个小圆挖去它们，得到个以复围线为边界的多连通区域，然后再求解。

解设，以，为圆心，以充分小正数为半径做圆周使，全含于内。

则在以为边界的多连通区域及边界上解析。

所以，而，，所以例在单连通区域内，函数是的个原函数，而，在内解析，故由定理有哈尔滨学院本科毕业论文设计第二章柯西积分公式及推论我们利用柯西积分定理复围线形式导出个用边界值表示解析函数内部值的积分公式。

柯西积分公式被积函数在内部有奇点，利用柯西积分公式。

柯西积分公式设区域的边界是围线或复围线，在内解析，在上连续，则有思考题在上述定理的条件下，如果，则柯西积分之值如何柯西积分公式可以改写成，借此公式可以计算些围线积分指路径是围线的积分。

例设为圆周，则按定理，注意到在闭圆上解析，定理的条件满足，故公式可以应用，因而上面的计算是正确的。

这就是柯西积分公式。

它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。

如果给定的积分的被积函数在内部有唯的奇点，就可以直接应用柯西积分公式来解题，如果给定的积分的被积函数有两个或两个以上的奇点，那么我们就不能应用柯西积分公式直接解题。

哈尔滨学院本科毕业论文设计例计算分析被积函数，在复平面上有各奇点，只有在积分路径的内部。

解改写被积函数为，设，则在以为边界的闭圆上解析。

则柯西高阶导数公式在研究柯西高阶导数公式前先来了解下解析函数的无穷可微性，我们将柯西积分公式形式地在积分号下对求导后得，∈这样继续次又可得∈我们将对这些公式的正确性加以证明在上述定理条件下得到柯西高阶导数公式。

柯西高阶导数公式函数在区域内有各阶导数，并且有∈，„„这是个用解析函数的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式哈尔滨学院本科毕业论文设计证首先对的情形来证明，即要证公式成立。

按照，有≠，我们要证明下面的差数，在充分小时不超过任给的正数ε设沿，表示与上点间的最短距离于是，当∈时，参看定理注。

设