【26页】毕业论文_三重积分的计算与应用.doc文档优秀范文 ㊣ 精品文档 值得下载

，不仅仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有着不可替代的作用然而，很多学生不能熟练掌握三重积分的相关知识，因而也不会去应用该知识为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，以便以后能够熟练巧妙运用，本文系统的总结了三重积分的求解方法求解三重积分最根本的就是将三重积分化为累次积分但是化为累次积分时可以有不同的选择，既可以先二后坐标面投影法，也可以先后二坐标轴投影法，有的题目还可以巧妙地运用对称性求解，复杂的题目可以选择换元法来求解不同的方法在不同的情况下适用，对于个题目来说，具体应该选择哪种方法来求解，则应该进步分析三重积分有着广泛的应用，主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的体积无论在哪儿应用，都要先抽象成数学模型，再计算因此本文的应用只是采用了些简单的例题，关键是让学生去体会不同方法解三重积分的过程关键词三重积分先后二先二后换元法分析应用济南大学毕业论文济南大学毕业论文摘要前言三重积分的定义与性质三重积分的定义三重积分的性质三重积分的计算利用直角坐标计算三重积分坐标面投影法坐标轴投影法利用对称性化简三重积分计算利用换元法计算三重积分柱坐标变换球坐标变换三重积分的应用利用三重积分求重心利用三重积分求转动惯量利用三重积分求引力结论参考文献致谢前言三重积分在现实中有着广泛的应用利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有着不可替代的作用在国内，三重积分的实际应用远远比不上国外应用广泛，因此，国内的学生很多情况下只限于对三重积分的书面认识，意识不到它在现实中的广泛应用很多学生在学习三重积分时，不了解三重积分的几何意义，因而不能熟练掌握求解三重积分的方法当面临求解三重积分问题时，往往不知如何下手即便是知道将三重积分化为累次积分，也不知道该选用哪种方法求解，求解过程中更是会出现各种各样的为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，本文系统的总结了三重积分的求解方法，以便学生尽快掌握相关内容本文主要是将三重积分所有的求解方法系统的进行归纳总结，详尽介绍运用三重积分求重心，转动惯量，及引力的方法，同时给出求解上述问题的公式，并列举了部分例题，以便学生更好地掌握三重积分相关知识要想熟练地掌握三重积分，首先要了解三重积分的定义，理解三重积分的定义及意义，熟练掌握三重积分的性质，为后面的求解方法打下坚实基础在直角坐标系下计算三重积分时，可以选用先后二的坐标面投影法和先二后的坐标轴投影法，甚至可以利用对称性进行计算但是，对于不同的问题，应该选择哪种方法，责应当具体问题具体分析利用换元法求解三重积分时，要注意把空间中的闭区域对地映成空间中的般常用的是柱坐标变换和球坐标变换当选择用换元法求解三重积分时，还应该注意积分限的确定三重积分有着广泛的应用，主要是在大型桥梁工程建设中用来计算不规则物体的体积，重心，在物理学上求解转动惯量，及求质点对其他点的引力不管什么问题，只要遇到三重积分问题，先看清题意，将实际问题抽象成数学问题，再套用公式，进行计算济南大学毕业论文三重积分的定义与性质三重积分的定义设密度函数是定义在三维空间可求质量的有界区域上的有界函数，现用若干光滑曲面所组成的曲面网来分割，他把分割成个小区域记的体积为，的直径在每个中任取点，作积分和定义设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是个确定的常数若对任给的正数，总存在正数，使得对于任的意分割，只要，属于分割的所有积分和都有则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域当时，在几何上表示的体积三重积分的性质性质若与在上可积，与为常数，则在上也可积，且性质若在，上可积，且与无公共内点，则在济南大学毕业论文上也可积，且性质若在与上可积，且，则性质若在上可积，则在上也可积，且济南大学毕业论文三重积分的计算利用直角坐标计算三重积分在直角坐标系下求解三重积分时，般是先将三重积分化为累次积分但是，将三重积分化为累次积分时，可以先后二也可以先二后不同的题目，适合化为哪种累次积分，还得具体问题具体分析坐标面投影法如图，在面上闭区域的投影为闭区域，，，过，作条与轴平行且穿过闭区域的直线，这时，该直线和闭区域的边界曲面，分别相交于两点，首先，我们将，看作定值，则就可以看成只关于的函数令，在面上，我们可知因此在上的二重积分有，济南大学毕业论文图所以三重积分可以化为这种方法称为坐标面投影法，即先后二法闭区域称为型空间区域同理，我们可以得到，型空间区域例若使由曲面和平面所围成的立体，将三重积分化为三次累次积分，，，，济南大学毕业论文图从图中可知，，例求，其中是由曲面，与平面，和所围成的闭区域解由题意可知例立体是由曲面，，，围成，求该立体的体积解由题意可知因此济南大学毕业论文坐标轴投影法图如图，把积分区域向轴投影，得投影区间，用过，，且平行于面的平面截，得截面在截面上，可以计算二重积分此时是关于的函数，只需计算单积分的值就可以得到三重积分的值由分析可知，三重积分可以化为这种方法被称为坐标轴投影法，即先二后法闭区域这样的闭区域被称为型空间区域同理，可以得到型，型空间区域例计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成济南大学毕业论文的闭区域解由题意可知例计算，其中是曲面，，以及抛物柱面所围成的闭区域解由题意可知利用对称性化简三重积分计算若是三维空间中关于面对称的有界闭区域，为上的连续函数，则有当关于为奇函数时，当关于为偶函数时，其中为在面上方的部分济南大学毕业论文利用换元法计算三重积分是三维空间中的有界闭区域，函数在上连续设变换，把空间中的闭区域对地映成空间中的，并设，，及它们的阶偏导数在内连续且行列式，则例利用适当的坐标变换，计算以下曲面所围成的体积解令，即且满足济南大学毕业论文因此柱坐标变换设为空间中的点，在面上的投影为图由图可知，，，因此在面上的的极坐标为，，我们称为的柱坐标因此，我们得到柱坐标变换，而相对应的雅克比行列式所以济南大学毕业论文例计算其中由与所围的立体解，，，例求，其中是锥面与平面所围成的立体解柱坐标变化，球坐标变换济南大学毕业论文图如图，在面内的投影为，轴正半轴与的夹角为，轴正半轴与的夹角为，，则为的球坐标因此，我们得到球坐标变换，而对应的雅克比行列式所以，三重积分的球坐标变换公式为例计算，其中是由锥面和球面围成解，，济南大学毕业论文济南大学毕业论文三重积分的应用利用三重积分求重心设物体占有空间闭区域，该区域在点处的密度函数为，假定在上连续，则该物体的重心为，例已知椭球体的方程为，求椭球体的体积解做变换其中，，因此例求，其中是由，与，所围成的区域济南大学毕业论文解做变换使映射到由题意可知雅克比行列式所以例求密度均匀的上半椭球体的重心解设椭球体由不等式表示，由对称性可知，密度均匀，所以为常数因此由例和例可知济南大学毕业论文利用三重积分求转动惯量设物体占有空间闭区域，在点处的密度为，假定在上连续，则该物体对坐标面转动惯量为，，该物体对坐标轴的惯量为，例设球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量解设球体由不等式表示，密度函数为其中是比例系数切平面方程为则球体相对于平面的转动惯量为例求边