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式的定义不等式的研究背景第章数学分析中不等式的证明方法与举例构造变上限积分函数利用拉格朗日中值定理进行证明利用微分中值定理证明积分不等式积分中值定理解不等式利用泰勒公式证明不等式用函数的极值进行证明用函数凹凸性进行不等式的证明利用函数单调性解不等式利用条件极值求解不等式利用两边夹法则证明不等式第章不等式证明方法的归纳总结第章论文的结论与展望致谢参考文献数学分析中不等式的解法研究摘要不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的且非常重要的工具，同时也是数学分析中主要研究的问题之，可以说不等式的研究对数学分析发展起着巨大推动作用。

本文章首先介绍了不等式的研究背景，然后主要研究如何求解数学分析中的不等式问题以及探讨总结不等式的不同证明方法，并对不等式的证明方法进行归类，通过题多解如柯西不等式的求解过程，法多用如泰勒公式与牛莱公式的综合运用等例题。

巧妙解决不等式的求解问题并最后归纳了不等式的多种解题技巧，为以后不等式的学习做了较为详细的归纳总结，希望能对后来读者的学习起到定的帮助作用也是本人学习的些心得。

关键词数学分析柯西不等式泰勒公式牛莱公式第章不等式的定义及研究背景不等式的定义定义用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

在个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是个不等式。

不等式分为严格不等式与非严格不等式。

般地，用纯粹的大于号小于号连接的不等式称为严格不等式，用不小于号大于或等于号不大于号小于或等于号连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

不等式的研究背景数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件，在年发表的论文和年任伦敦数学会主席届满时的演讲，和的著作的前言中对不等式的哲学给出了有见地的见解般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是内在的，而且应该给出等号成立的证明。

认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式认为，基本的不等式是初等的自从著名数学家，和的著作由于年出版以来，数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场，成为门新兴的数学学科，从此不等式不再是些零星散乱的孤立的公式综合，它已发展成为套系统的科学理论。

世纪年代以来，国际上每四年在德国召开次般不等式国际学术会议，并出版专门的会议论文集。

不等式理论也是年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会的主题之。

华人数学家在不等式领域做出过重要贡献，最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域，他们在相关方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的注意和重视。

世纪年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。

将我国几何不等式的研究推向高潮在代数不等式方面，王挽澜教授对不等式的深人研究达到国际领先水平。

祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果对分析不等式，胡克教授于年发表在中国科学上的论文论个不等式及其若干应用，针对不等式的缺陷提出个全新的不等式，被美国数学评论称之为个杰出的非凡的新的不等式，现在称之为胡克不等式。

目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。

如常用不等式匡继昌。

矩阵论中不等式王松桂贾忠贞。

另外，国内还有个不等式研究小组，主办不等式研究通讯的内部交流刊物。

第章数学分析中不等式的证明方法与举例构造变上限积分函数变限积分的定义设在，上可积，对于任给，，在，和，上均可积，分别称和为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分。

若在，上连续，则其变限积分作为关于的函数，在，上处处可导，且，更般的有例柯西不等式及柯西不等式的证明证明柯西不等式为。

设显然在，上连续，在，内可导，且所以在，上单调减少，则，即得到结论。

例设在，上连续，且单调递增，试证，证明显然对任意的，有，因为单调递增，则，则单调递增，所以因此例设为，上的非负单调非增连续函数即当时，分析可化为将换成，于是辅助函数令因为单调递减所以单增，又因为，所以。

即故。

利用拉格朗日中值定理进行证明拉格朗日中值定理设函数满足在闭区间，上连续在开区间，内可导则至少存在点ξ∈使得即ξ证明构造函数，在区间，上满足拉格朗中值定理，且，所以有，即ξ，则有时，试证不等式证明构造函数，则在区间，上满足拉格朗中值定理，且，故有ξξ∈即又ξ∈，则即利用微分中值定理证明积分不等式定理若函数在，连续，在，内可导，则，。

例设在，上有连续导数，且，证明证明设，因为，所以从而有积分中值定理解不等式积分第中值定理若函数在闭区间，上连续，则在积分区间，上至少存在个点ξ，使，成立。

积分第二中值定理若是，上单调函数，为可积函数，则，，使得。

例设在，上有阶连续导数，且，证明，证明令，，由积分第中值定理知从而所以例设为，上的非负单调非增连续函数即当时，证明对于，有下面的不等式成立。

证明由积分第中值定理有，从而因此可得又因，所以，故例设为，上的连续递增函数，则不等式成立证明要证式只要证明由于单调递增，利用积分第二中值定理，则存在，，使故成立，原不等式成立利用泰勒公式证明不等式定理若在闭区间，上存在直到阶连续导数开区间，内存在的阶导数，则对∈，和任何∈至少存在点ξ∈使得，，。

例设试证证明根据泰勒公式，有，，因为，∈，例设在，上有二阶连续导数，证明方法由泰勒公式有两边在，上积分并注意到得，从而得方法令，则且牛莱公式，由泰勒公式有由得所以用函数的极值进行证明当要证明形如或的表达式时，可以考虑利用极值来解决方法如下构造函数，令，求出驻点若，则为极小值点，记，则若，则对，上的任意有，，证明取函数则有令，得，于是有即由于在闭区间，上连续，因而在，上取得最大值和最小值，又在，上可导，且有唯的驻点，并且所以在，上的最小值是，最大值是从而对，上的任意有即，用函数凹凸性进行不等式的证明定义凹函数设函数在区间上定义，若对中的任意两点和，和任意∈都有则称是上的凹函数。

凸函数设函数在区间上定义，若对中的任意两点和，和任意∈都有则称是上的凸函数。

若不等号严格成立，则称在上是严格凹凸函数。

定理曲线弧凹向的判定法设函数在，上连续，在，内二阶可导若在，内，则曲线弧在，内为上凸的若在，内，≠证明构造函数，其定义域为这时，即有在区间，∞内是上凹的所以，≠时，有，≠利用函数单调性解不等式定理设函数在，上连续，在，内可导，则有如果在，内，那么，函数在，上单调增加如果在，内，那么，函数在，减少很明显，若在，上单调增加，则，反之亦然例利用元二次函数根的判别式来证明柯西不等式的证明考虑非负函数的积分，有等价于是关于的二次三项式，非负，所以有成立。

例当∈，时，求证证明构造函数，则有，，所以在区间，内是增函数，所以故在区间，内也是增函数，从而有利用条件极值求解不等式例证明个正数的几何平均值不超过算术平均值即设，是个正数。

证明分析记则不等式等价于于是只需证明在下，函数的最大值是即可。