1、以下这些语句存在若干问题，包括语法错误、标点使用不当、语句不通畅及信息不完整——“.....如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命整理得，解得故点到平面的距离为说明用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内共面向量定理两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例已知正方体的棱长为，求直线与的距离分析设异面直线的公垂线是直线，则线段在直线上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系，则有设是直线方向上的单位向量，则，解得或取，则向量在直线上的投影为由两个向量的数量积的几何意义知，直线与的距离为向量的内积与二面角的计算在高等代数与解析几何课程第章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有个例题见，要求证明如下的公式,其中点是二面角的棱上的点，分别在平面和平面内......”。

2、以下这些语句存在多处问题，具体涉及到语法误用、标点符号运用不当、句子表达不流畅以及信息表述不全面——“.....或选修教案第章常用逻辑用语命题及其关系命题教学目标知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假能把命题改写成若，则的形式过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力情感态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。二教学重点与难点重点命题的概念命题的构成难点分清命题的条件结论和判断命题的真假三教学过程复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾什么叫做命题思考分析下列语句的表述形式有什么特点你能判断他们的真假吗若直线∥，则直线与直线没有公共点垂直于同条直线的两个平面平行若,则两个全等三角形的面积相等能被整除讨论判断学生通过讨论，总结所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中的判断为真，的判断为假。教师的引导分析所谓判断，就是肯定个事物是什么或不是什么，不能含混不清。抽象归纳定义般地，我们把用语言符号或式子表达的......”。

3、以下这些语句在语言表达上出现了多方面的问题，包括语法错误、标点符号使用不规范、句子结构不够流畅，以及内容阐述不够详尽和全面——“.....将发现四种命题间的关系如下图所示总结归纳若，则若，则原命题互逆逆命题互否互为否逆互否为互逆否否命题逆否命题互逆若￢，则￢若￢，则￢由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题例题分析例证明若，则分析如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。将若，则视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题若，则≠为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的证明若，则所以≠这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。练习巩固证明若≠......”。

4、以下这些语句该文档存在较明显的语言表达瑕疵，包括语法错误、标点符号使用不规范，句子结构不够顺畅，以及信息传达不充分，需要综合性的修订与完善——“.....，。为二面角见图。图公式可以利用向量的内积来加以证明以为坐标平面，直线为轴，如图建立直角坐标系。记平面与平面的交线为射线，则，得，，。分别沿射线的方向上作单位向量，，则,。由计算知，的坐标分别为,，于是，。公式在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。例立方体的边长为，分别为的中点。求面和面的夹角的大小用反三角函数表示。解由于图中所画的两平面和只有个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿方向平移个单位。这样就使平面平移至平面。而就是二面角见图。利用公式，只要知道了，和的大小，我们就能求出。图由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，图，即。解得，。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量......”。

5、以下这些语句存在多种问题，包括语法错误、不规范的标点符号使用、句子结构不够清晰流畅，以及信息传达不够完整详尽——“.....他们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系原命题与它的逆否命题等价否命题与逆命题等价作业习题组第题充分条件与必要条件教学目标知识与技能正确理解充分不必要条件必要不充分条件的概念会判断命题的充分条件必要条件过程与方法通过对充分条件必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析判断和归纳的逻辑思维能力情感态度与价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育二教学重点与难点重点充分条件必要条件的概念解决办法对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证难点判断命题的充分条件必要条件关键分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件三教学过程练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题若，则,若，则学生容易得出结论命题为真命题，命题为假命题置疑对于命题若，则，有时是真命题......”。

6、以下这些语句存在多方面的问题亟需改进，具体而言：标点符号运用不当，句子结构条理性不足导致流畅度欠佳，存在语法误用情况，且在内容表述上缺乏完整性。——“.....如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命整理得，解得故点到平面的距离为说明用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内共面向量定理两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例已知正方体的棱长为，求直线与的距离分析设异面直线的公垂线是直线，则线段在直线上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系，则有设是直线方向上的单位向量，则，解得或取，则向量在直线上的投影为由两个向量的数量积的几何意义知，直线与的距离为向量的内积与二面角的计算在高等代数与解析几何课程第章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有个例题见，要求证明如下的公式,其中点是二面角的棱上的点，分别在平面和平面内......”。

7、以下这些语句存在标点错误、句法不清、语法失误和内容缺失等问题，需改进——“.....只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从判断的角度来加深对命题这概念的理解练习深化判断下列语句是否为命题空集是任何集合的子集若整数是素数，则是奇数指数函数是增函数吗若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行让学生思考辨析讨论解决，且通过练习，引导学生总结判断个语句是不是命题，关键看两点第是陈述句，第二是可以判断真假，这两个条件缺不可疑问句祈使句感叹句均不是命题解略。引申以前，同学们学习了很多定理推论，这些定理推论是否是命题同学们可否举出些定理推论的例子来看看通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理推论都是命题过渡同学们都知道，个定理或推论都是由条件和结论两部分构成结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理推论都是由条件和结论两部分构成。紧接着提出问题命题是否也是由条件和结论两部分构成呢命题的构成条件和结论定义从构成来看......”。

8、以下文段存在较多缺陷，具体而言：语法误用情况较多，标点符号使用不规范，影响文本断句理解；句子结构与表达缺乏流畅性，阅读体验受影响——“.....和这样的两个命题叫做互逆命题，和这样的两个命题叫做互否命题，和这样的两个命题叫做互为逆否命题。抽象概括定义般地，对于两个命题，如果个命题的条件和结论分别是另个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题其中个命题叫做原命题，另个命题叫做原命题的逆命题让学生举些互逆命题的例子。定义般地，对于两个命题，如果个命题的条件和结论恰好是另个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题其中个命题叫做原命题，另个命题叫做原命题的否命题让学生举些互否命题的例子。定义般地，对于两个命题，如果个命题的条件和结论恰好是另个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题其中个命题叫做原命题，另个命题叫做原命题的逆否命题让学生举些互为逆否命题的例子。小结交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题交换原命题的条件和结论......”。

9、以下这些语句存在多方面瑕疵，具体表现在：语法结构错误频现，标点符号运用失当，句子表达欠流畅，以及信息阐述不够周全，影响了整体的可读性和准确性——“.....例计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。解我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有个面围绕。设和是两个相邻的面，是它们的交线如图，则公式中的，，分别为，，，因此它们均为正五边形的内角。所以。图所以，由公式知，或。因此，，或。如果不使用公式，要求出例中的夹角的大小在计算上要复杂很多。利用例的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积。设单位棱长正十二面体的中心为，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的个面为底面以为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知。再设的底面积为高为，设为单位边长正五边形即的底的中心，为该五边形的两个相邻的顶点，为的中点，，则，，。仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以。但是，......”。