1、程及其对应的图象,尤其要弄清参数方程中的几何意义焦点弦的长度可以通过抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离问题,这样焦点弦弦长公式就会有个简洁的形式,以焦点在轴上的抛物线为例,考点考点考点知识方法易错易混考点抛物线的定义及其应用例如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点,在抛物线上,点在轴上,则与的面积之比是𝐵𝐹𝐴𝐹𝐵𝐹𝐴𝐹𝐵𝐹𝐴𝐹𝐵𝐹𝐴𝐹答案解析解析关闭设由抛物线定义,得则𝑆𝐵𝐶𝐹𝑆𝐴𝐶𝐹𝐵𝐶𝐴𝐶𝑥𝑥𝐵𝐹𝐴𝐹,故选答案解析关闭考点考点考点。
2、相切,则动圆的圆心的轨迹方程为答案解析解析关闭设动圆的圆心坐标为则圆心到点,的距离与到直线的距离相等,根据抛物线的定义,易知动圆圆心的轨迹方程为答案解析关闭过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,若到抛物线的准线的距离为,则答案解析解析关闭,抛物线的准线为又到抛物线准线的距离为𝑝,答案解析关闭若点到点,的距离比它到直线的距离小,则点的轨迹方程为答案解析解析关闭由题意知点到点,的距离比它到直线的距离小,因此点到点,的距离与到直线的距离相等,则点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,故的轨迹方程为答案解析关闭自测点评要熟练掌握抛物线的四种标准。
3、答案解析解析关闭如图,由知又,所以又,所以为等边三角形故答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题解题心得涉及与抛物线焦点的距离问题常转化为点到准线的距离考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且,则有答案解析解析关闭抛物线的准线方程为𝑝,由定义得𝑝𝑝,则𝑝𝑝由,得,故选答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知抛物线的焦点为,准线为,是上点,是直线与的个交点,若,则𝐹𝑃𝐹𝑄答案解析解析关闭𝐹𝑃𝐹𝑄𝑃𝑄𝑃𝐹如图,过作⊥,垂足为,设。
4、与轴的交点为,则,根据抛物线定义可知,故选答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混考点抛物线的标准方程及几何性质例陕西,理若抛物线的准线经过双曲线的个焦点,则答案解析解析关闭双曲线的焦点为,抛物线的准线方程为𝑝因,故𝑝,解得答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知抛物线,过其焦点且斜率为的直线交抛物线于,两点,若线段的中点的横坐标为,则该抛物线的准线方程为答案解析解析关闭由题意可设直线方程为𝑥𝑝,设联立方程𝑦𝑥𝑝得,则线段的中点的横坐标为,抛物线的准线方程为答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混思考求抛物线标准方程。
5、若在点处的切线平行于的条渐近线,则答案𝑥解析抛物线的焦点坐标为双曲线𝑥的右焦点坐标为两点连线的方程为𝑝,联立𝑦𝑝𝑥得设点的横坐标为,易知在点处切线的斜率存在,则在点处切线的斜率为𝑝𝑥𝑚𝑝又双曲线𝑥的渐近线方程为𝑥,其与切线平行,所以𝑚𝑝,即,代入,得或舍去抛物线考纲要求了解抛物线的定义几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质范围对称性顶点离心率理解数形结合的思想了解抛物线的简单应用抛物线的定义平面内与个定点和条直线不过的距离相等的点的集合叫作抛物线这个定点叫作抛物线的焦点,这条定直线叫作抛物线的准线抛物线的。
6、法易错易混认真区分四种形式的标准方程区分与,前者不是抛物线的标准方程求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为或抛物线的焦点弦设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于则若直线的倾斜角为,则𝑝𝜃若为抛物线焦点,则有𝐴𝐹𝐵𝐹𝑝考点考点考点知识方法易错易混求抛物线的标准方程时般要用待定系数法求值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪种标准方程求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题易错警示忽视抛物线方程的标准形式而致误典例抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第象限的点。
7、相切,也可能相交考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知抛物线的顶点为焦点为,求抛物线的方程过点作直线交抛物线于,两点若直线,分别交直线于,两点,求的最小值考点考点考点知识方法易错易混解由题意可设抛物线的方程为,则𝑝,所以抛物线的方程为设直线的方程为由𝑦𝑘𝑥,𝑥𝑦消去,整理得,所以,从而𝑘由𝑦𝑦𝑥𝑥解得点的横坐标𝑥𝑥𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥同理,点的横坐标𝑥考点考点考点知识方法易错易混所以𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘,令,,则𝑡当时,𝑡𝑡当时,𝑡综上所述,当,即时,的最小值是考点考点考点知识。
8、点考点知识方法易错易混如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点交其准线与直线相切的圆,必与直线相切考点考点考点知识方法易错易混解由抛物线的定义,得𝑝因为,即𝑝,解得,所以抛物线的方程为证明方法因为点,在抛物线上,所以,由抛物线的对称性,不妨设,由,可得直线的方程为由𝑦𝑥,𝑦𝑥得,解得或,从而,又所以考点考点考点知识方法易错易混所以,从而,这表明点到直线,的距离相等,故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切方法二设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点,在抛物线上,所以,由抛物线的对称性,不妨设,由,可得直线的方程为由𝑦𝑥。
9、准方程与几何性质图像标准方程的几何意义焦点到准线的距离性质顶点原点对称轴轴轴焦点坐标离心率准线方程范围,,,,下列结论正确的打,错误的打“”平面内与个定点和条定直线的距离相等的点的轨迹定是抛物线若直线与抛物线只有个交点,则直线与抛物线定相切若抛物线过点其标准方程可写为抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形为抛物线的过焦点的弦,若则弦长𝑝,𝑝抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是𝑦答案解析解析关闭由题意可得,抛物线的焦点为双曲线的渐近线方程为,即,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离答案解析关闭动圆过点且与直线。
10、知识方法易错易混设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上点,⊥,为垂足,如果直线的斜率为,那么答案解析解析关闭如图,由知又,所以又,所以为等边三角形故答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题解题心得涉及与抛物线焦点的距离问题常转化为点到准线的距离考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且,则有答案解析解析关闭抛物线的准线方程为𝑝,由定义得𝑝𝑝,则𝑝𝑝由,得,故选答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知抛物线的焦点为,准线为,是上点,是直线与的个交点,若,。
11、𝑦𝑥得,解得或,从而,又故直线的方程为,从而考点考点考点知识方法易错易混又直线的方程为,所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切考点考点考点知识方法易错易混思考直线与抛物线中的焦点弦问题常用结论有哪些解题心得直线与抛物线相交于两点问题可结合抛物线的定义及几何性质进行处理,必要时联立直线与抛物线的方程来解决考点考点考点知识方法易错易混与焦点弦有关的常用结论如图所示𝑝𝜃为的倾斜角𝑝𝜃为的倾斜角𝐴𝐹𝐵𝐹为定值𝑝以为直径的圆与准线相切以或为直径的圆与轴相切若直线与抛物线只有个交点,则直线与抛物线可能。
12、常用方法和关键是什么解题心得求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有个参数,只需个条件就可以确定抛物线的标准方程涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,在求最值时可以相互转换,并结合图形很容易找到最值考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知点是抛物线上的动点,点到准线的距离为,且点在轴上的射影是,点,则的最小值是,答案解析解析关闭抛物线焦点准线,如图,延长交准线于,由抛物线定义得而当且仅当三点共线时,取号,此时,点位于抛物线上,的最小值为答案解析关闭考点考。
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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.7 抛物线课件 文 北师大版