1、 数据的曲面拟合函数， ， 为使，点处，等于实测数据点值，需建立联立方程组  式中。对个实测数据点求解此线性方程组可得待定系数 将这些值代回插值函数式，即为通过各实测数据点且处处连续光滑。 曲面样条插值法 该方法的优点是原始数据点可以任意排列，拟合出的光滑曲面通过已知数据点。其数学 表达式，为 ，  式中，为待定系数，为调节曲率大小的经 验参数，般取为原始数据点个数。个待定系数可通过下列方程组求得 ，       由式容易得出在，内存在关于坐标的阶连续偏导数，则由式 得出的形函数也存在关于坐标的阶连续偏导数值越小，在节点自身取值越大， 而在远离点处取值越小，并在距离以外为。当时，权函数具有。

2、 面由上到下作层序编号，且对不同地层面指定不同的函数值常量来描述。假定地质体中有 个地层面，则相应有个地层，同地层各处厚度也可能不同，各个地层的参照厚度 可取各勘测点相应地层厚度的平均值，利用各地层面参照厚度计算出各地层面的 函数值常量。令最上部第层面定义函数值，则第层面的函数值常量可表示为， ， 式中为中的最大值。 为了拟合各地层面，需要组点的实测层面定位数据和，其中为地 层面空间测点坐标，为该测点所在地层面的序号，则与满足关系式  式中。对个实测数据点解此线性方程组可得待定系数 将这些值代回插值函数式，即为通过各实测数据点且处处连续光滑的地层界面。 这种多层连续地层的插值拟合方法的优点是，当在受条件限制数据分布极不均匀 些层位的数据较少的情况下，可以通过相邻层位的形态数据的相似性及相关关系，或者利 用相邻层位在空间的延展趋势的协调致性，。

3、不规则形体，由多个各种成因类型形状各异的结构面围限而成，有定 的物质组成结构和赋存于定的地质环境中，遭受过多期次的变形和破坏，其工程地质 条件复杂千变万化。对于单个单值层面和地质条件简单的多层连续地层的模拟和计算机图 形显示比较简单，但是，当把多个这样的单值层面在空间叠加，考虑出现断层错断岩层地 层不整合和结构面的组合相互穿插等地质现象，组成地质体的三维模型，并能进行切剖， 其复杂度和建模技术难度会爆炸性地增加，些理论问题如三维拓扑结构分析，曲面求交 运算，形体相互遮挡的消隐等需亟待解决。 工程地质层面的数学模型 离散数据拟合插值所构造的层曲面模型是对地质信息在复杂地质体中分布的数学抽 象描述，为绘制和显示地质信息的空间分布提供了重要的方法基础。地质信息的插值和拟合 函数要根据实际勘测数据建立，实测数据越丰富精确，得到的地质模型越能够真实描绘出这 些信息的空间分布规。

4、值 法和节多层连续地层曲面的拟合函数，通过编制程序生成脚本文件得到的这组数 据的地表曲面和多个地层曲面的计算机图形图。由图可以看出，曲面为连续光滑面， 且函数通过各实测点。 表地表离散点实测数据 结语三维地质建模的数学模型与显示方法 摘要基于离散数据集的曲面插值拟合方法，精确通过工程勘察数据点，获得光滑连续的地质 界面的数学模型，可以用于表达地形地下水位面岩层面构造面等各种地质界面和岩土体物 理力学参数的空间分布。单值界面的数学模型中的插值型滑动最小二乘法是局部插值方法，可避 免全局插值方法的缺憾。编制程序生成脚本文件的地质界面计算机显示方法的优点是对 编程技术要求不高，简单实用，可充分利用软件强大的图形显示功能。 关键词工程地质三维建模勘测数据单值曲面拟合函数地层曲面计算机显示 前言 工程地质三维建模与可视化是应用计算机图形学和图像处理。

5、奇异性，这种情况下， 滑动最小二乘拟合符合插值条件。 奇异权虽然在理论上可取，但在数值计算时造成滑动最小二乘法正规函数的病态，所以 实际计算中应取，此时，近似函数并不精确通过每个已知点，但若足够小，权函数 接近于奇异，滑动最小二乘法接近于插值型滑动最小二乘法。及的选取具有定程度的任 意性，但选取得好可提高计算精度。般选用，，计算结果较好。需适当选取， 在尽量减少计算量的同时满足式中的非奇异性，在结点均匀分布时可取为  式中，线性基，二次基，三次基为结点分布密度为大于的 系数，般取。 多层连续地层曲面的拟合函数 地层面在地质体中按定的层序排列，每地层有相应的厚度。上面讲述的单值曲面拟合函数也可用于描述连续多层地层界面，但要对其进行相应的修正。计算域中各地层厚度可 能差别很大，在对地层面进行函数拟合时，为使拟合函数更好地逼近原始地层面，需对各层 。

6、来修正或改善这些数据稀疏的地层面的模型。 地质界面的计算机显示方法 科学计算可视化技术是在计算机图形学基础上发展起来的个崭新的领域，用形象具 体的图形图像表达大量复杂抽象和多维的测量数据工程计算数据和科学计算数据所蕴涵 的内容。它将图形生成技术图形处理技术和人机交互技术结合在起，从而可以更快地分 析计算结果，更有效地控制计算过程。在地质勘探和工程地质力学分析中经常遇到大量数据 的处理和解释问题，尤其是地球物理数据采集和处理工程地质勘测数据的处理空间分布 的地球物理场和属性参数包括岩土体物理力学参数等地质目标层位如地层断层面 剖面，矿藏的位置延展和交切情况以及工程地质力学的数值模拟分析计算和处理结果的 解释等。利用科学计算可视化技术不仅丰富了体现数据的手段，而且为工程地质力学分析的 方法解释提供可靠依据。 基于的三维地层曲面模型可视化图形显示方法 是美国高级图形和高。

7、能计算机系统公司所开发的套高性能三维图形处 理系统，已被设计成适合于各种计算机操作系统下的三维图形应用程序编程接口 目前它已成为开放的国际图形标准。 运用，通过系列基本的几何图元点直线三角片 带四边形片带来建立地质界面模型。在绘制地质曲面时，通过对已知离散的勘测数据的 拟合插值形成空间规则网格，再划分成系列三角片进行渲染。对于相邻地层之间的空间， 由于相邻地层界面上对应的网格点组成的四边形片位于同平面上，可以直接画出四边形带 以缝合上下相邻层面，从而形成侧面，根据地层岩性进行不同的颜色填充，形成地质模型。 提供了大量的图形变换函数，在编制程序时无需进行复杂的矩阵运算，就可方 便地将三维地质体模型显示在屏幕窗口并进行平移缩放旋转等操作。为了增强图形的真 实感，还提供了隐藏线面消除着色和光照纹理映射和反走样等技术，简化了编 程。另外，还提供了用双缓存技术和显示列表技术，。

8、可充分利用硬件加速功能，并 且利用微软基础类库，编写对鼠标和键盘的消息响应函数 ，实现对三维地质模型的动态显示和动画效果。 编制程序生成脚本文件的图形显示方法 脚本文件类似于操作系统中的批处理文件，它可以将不同的命令组合起来，并按确定的顺序自动连续地执行。脚本文件是文本文件， 扩展名为，用户可使用任文本编辑器来创建脚本文件。因为脚本文件可使些命令 序列自动执行，所以常用来产生编辑或观看图形，如幻灯放映初始的图形设置等。 三维地质模型的计算机显示，可以采用任何种高级语言如等 设计用户交互界面，对绘图所需要参数进行计算生成，然后确定命令命令选项 命令序列等，最后生成扩展名为的脚本文件。在中用命令来执行 脚本文件，完成计算机显示。该法的优点是对编程技术要求不高，简单实用，可充分利用 软件强大的图形显示功能。 表列出了组的地表测点数据。采用节的基于平面弹性理论的曲面样条插。

9、方法 该方法采用的插值函数为 ， 其中为常数，般取。将个点，的实测值代入上式建立联立方程  求解此线性方程组可获得待定系数将这些值代回插值函数式，即为通过 各实测数据点且处处连续光滑的曲面方程。 在数据点数量不太大的情况下，法计算不太麻烦。这方法提出的近年 间，在水文测量大地测量地质及采矿地球物理等领域得到广泛应用，效果良好。 基于平面弹性理论的曲面样条插值法 对地表地形或地下水位等离散数据进行函数拟合可借助平面弹性理论，把计算域视为无 限延伸平面，在平面，点上给定垂直位移时，平面各处将均会随着产生位移，若 限制距离，点半径为以外位移为零时，则由引起距离，点为处的点 ，的位移为  图加权法绘制的地层曲面式中，为平面影响半径，其影响函数随的增大而逐渐减 小它在和时。利用上式对个实测数据点进行叠加可以得到离散点。

10、学参数在地质体空间的分布。 与距离成反比的加权方法 此方法又称为最小二乘距离加权插值算法，其基本思路是将插值函数，定义为各实 测数据点的加权平均，即点，的值对于，的影响与，至，的距离成反 比。令表示由，点到，点的距离，则插值函数， 可表示为        ， ， 式中权函数      ， ， ， 有如下性质，非负，是连续的，，当时，， 否则④具有加权性质。 方法的插值结果只能是连续的，当增 加删除或改变个点时，权函数，均需重新计算，因而该方法是个全局插值算法。 图是根据离散数据利用与距离成反比的加权方法绘制的地层曲面。 径向基函数插值法。

11、技术，是将工程地质勘测数 据和工程地质岩土体力学数值模拟分析的计算结果转换为图形图像在计算机屏幕上显示出 来并进行交互处理的理论方法和技术。复杂地质体中的各类地质信息都可以被看作是三维 空间的函数，利用各种野外勘测数据分别建立相应的曲面拟合函数，进而利用计算机建立三 维地质模型，逼真反映地质结构全貌，达到直观地表达地质信息的分布规律提高对于地质 规律的认识指导地质工程项目的勘测施工的目的。因此，工程地质三维建模与可视化研究 有其重要的理论和现实意义。 工程地质三维建模与可视化研究中，地质界面的数学模拟是基础。由于地质界面必须精 确通过控制点工程勘测数据点，通过离散的工程勘测数据点建立三维地质模型及其计算 机图形可视化显示属于重构问题，与计算机图形学中对于机械设计特别有效的形体的构造问 题是有根本区别的，所以针对机械设计发展起来的自由曲线曲面造型技术在地质层面模拟 中。

12、的应用受到极大限制。另外，现今热门的通过图和三角剖分在空间构 造不规则三角网，方法构造层面，方面由于原始数据点般 相距较远，常需要进行三角网的插值加密，另方面，插值曲面不光滑，无法求出层面上 点沿坐标轴的坡向坡度曲率和产状方法无数学曲面的解析表达式，就无法求得对 于或的阶和二阶偏导，而地质层面的走向倾向和倾角又与曲面方程的偏导数有定 的关系，用于地质界面的模拟也是不合适的。离散数据集的单值曲面拟合插值法是较为 成熟使用频率高的方法。与距离成反比的加权方法径向基函数插值方法样条曲面方法 等，拟合过程大都是全局性的，当增加删除和修改数据点时都要重新计算，有些方法还必 须要求解维数很大的线性方程组，这就使得这些方法的效率和稳定性大大降低，寻求局部插 值拟合方法就成为今后地质界面数学模拟的发展目标。对于用来模拟复杂褶皱的多值曲面拟 合插值函数也是个公认的难题。 地质体通常是。

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