应用矩阵的性质求解行列式 ㊣ 精品文档 值得下载

成部分，是解决其他高等代数问题的基础，具有较为广泛的应用本文探讨运用矩阵的性质进行行列式的计算，并初步探讨运用矩阵乘法，矩阵的分块和矩阵的特征值等性质计算行列式关键词矩阵行列式分块矩阵特征值在高等代数的学习中，行列式是其个重要的工具计算行列式的方法很多，但具体到个行列式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率行列式与矩阵是不同的两个概念，但他们又是密切相关的本文就运用矩阵的性质，探究行列式的些计算方法对于些可以表示成可逆矩阵与特殊矩阵的和的方阵的行列式，如可逆矩阵与秩矩阵的和，或可逆矩阵与矩阵的和等形式矩阵的行列式，可以运用些特殊的公式来计算利用计算行列式定理设是阶可逆矩阵，和是两个维列向量，则有证明由，得到由得到结论得证例计算行列式解令，，得，例计算阶行列式解，时，设，令，，，得，为奇数时，为偶数时例计算解类似的题目还有，等均可以用该方法计算利用求解行列式定理设为阶可逆矩阵，为矩阵，为矩阵，则有证明方法与定理类似，故此省略例设，计算行列式解令，，，记是阶单位阵，，例计算行列式解，令，，则有例计算解，令，，，故，而，这时同样适合，因而为计算公式定理，是两个级方阵，则有例计算行列式解取行列式，显然，由矩阵乘法的行列式性质有等式两边消去，得例计算阶行列式解因为，其中，所以，但行列式中的系数为，故例计算行列式解在行列式中，每个元素都可以利用项式定理展开，变成乘积的和据行列式的乘法规则，其中，对进行的行的交换，就是得到范德蒙行列式，于是性质设矩阵是由如下分块矩阵组成其中都是矩阵，又是任阶方阵对于矩阵则证明由其中是阶单位矩阵，对上式两边同时取行列式得性质设方阵是由如下分块组成其中都是矩阵，又是任阶方阵对于矩阵则证明设为阶单位矩阵，则于是本性质可以通过性质的例子同样也以得到性质设方阵和写成如下形式其中都是级矩阵。

则，当为偶数时，当为奇数时证明可由中的和相应的两行对换而得到，而对换行列式的两行，行列式反号，故当为偶数时，，当为奇数时，可以证明，对于般的分块矩阵也具有相同的性质这些性质同时，这些性质不仅对行成立，对列也同样成立下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用推论设，都是阶方阵，则有证明作阶行列式，由拉普拉斯展开定理得又由性质并应用于列的情况，有因此有推论设，都是阶方阵，则有证明根据性质并应用于列的情况，有例计算行列式解这个行列式看似简单，但如果方法选择不当，做起来并不轻松设，由推论知例计算阶行列式解令则推论设，都是阶方阵，其中，并且，则有证明根据性质，因为存在，并注意到，用乘矩阵的第行后加到第行中去得从而例计算行列式解设，其中，，，，由计算知所以计算中的应用定义设是阶方阵，若存在维非零向量使，则称为的特征值，并称此非零向量为的属于的特征向量如果阶方阵的个特征值为，则般地，如果阶方阵的个特征值为，设，则的特征值为，因此例，其中为维列向量，且，计算解由可知，的个特征值为，为相应的特征向量取与正交的两个线性无关的向量，，则有，类似有，因此，为得对应于特征值的两个线性无关特征向量，为得重特征值的特征值为于是的特征值为，因此例矩阵的特征值与特征向量计算线形行列式设解按第行展开得，为求的通项变成现在利用矩阵的工具来求的通项，根据令，，那么可以写成由式递推可得其中这样求的问题就转化求的问题，因而转化为求的问题，如果可对角化，即存在可逆矩阵使得，对角形，就可以算出由于得的特征值，若，则有两个不相同的复特征根，在复数域上相应于与的特征向量分别为，取，且可逆于是就有所以就可以求出，如果限制在实数域上，有复特征根，这里不能对角化当，则有两个不相等的特征值，则可对角化，按在复域上的情况可以得出若，这时有重根，如果两个线性无关的特征向量，则可对角化，若只有个特征向量，这时可利用相似变换，把化若当标准形，可以算出，即可以求出例计算阶行列式解例中，因此，所以的特征值为，对应于特征值，代入齐次线性方程组即的基础解系为，对应于特征值，代入齐次线性方程组，即的基础解系为，以及为列作个矩阵，则的可逆且为于是所以例计算解例中，，，矩阵特征值重，并且属于特征值的只有个线性无关的特征向量，不能对角化，但可以相似变换方法求的通项令，且可逆且由式得于是得到所以，都成立参考文献北京大学数学系几何与代数小组教研室前代数小组高等代数第版高等教育出版社，王品超，高等代数新方法。

山东教育出版社应用矩阵的性质求解行列式。

陈黎钦，关于求解行列式的几种特殊的方法福建商业高等专科学校学报，刘和义，玉强矩阵特征值的种新型求法衡水学院学报，冯俊艳，马丽。

讨论矩阵的特征值与行列式的关系价值工程，石华，矩阵在高等代数中的应用黑龙江科技信息，韩宝燕，行列式的计算方法与应用科技信息，薛利敏，舒尚奇利用行