线性方程组解法的研究 ㊣ 精品文档 值得下载

式子移项并且变形后可得将上式写成迭代格式，即上述迭代法就称为迭代法。

设则它的矩阵形式表示为其中，。

迭代法迭代法是在迭代法的基础上进行改进，有写成矩阵形式并整理后可得，令，则。

线性方程组理论和它的求解，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科技领域和日常生活中应用都十分广泛。

这里只介绍它的其中几个方面的应用，随着线性方程组理论的不断发展和完善，它的应用也必将越来越广泛。

线性方程组理论与矩阵有很密切的关系，特别是矩阵的秩，所以些矩阵的问题用线性方程组的性质来解决会比较简单。

基本理论线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等为阶矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是为阶矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是若和分别为与矩阵，则若的解都是的解，那么若与同解，则若的解都是的解，且，那么与同解。

例设，分别为，矩阵，为维列向量，试证若，则。

证因为，所以线性方程组有解。

设是方程组的解，那么有，即线性方程组有解，所以。

例设，为阶矩阵。

证明如果，那么。

证明设，即是的列向量，由知是方程组的解向量。

又因为的解向量的秩等于，所以，所以。

应用线性方程组理论也可以被用在处理多项式问题上，请看下面例题，例若，这里的为实系数多项式，求证，其中。

证设的个根为，其中，，互不相同，记。

由假设可得由范德蒙德行列式可知上式的系数行列式不等于，又因为含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是方程组的系数行列式等于零。

所以，其中。

直接角分解法直接角分解法是高斯消去法的变形，它的基本方法有法和法，都包括分解系数矩阵和求解两个角形方程组的过程。

如果方程组的系数矩阵可分解为两个形式简单的角形矩阵和的乘积，即，若为下角形矩阵，则为上角形矩阵，反之亦然。

所以，求解方程组的问题可转化为解角形方程组。

设矩阵的各阶顺序主子式均不为零，有分解式。

对比等式左右两边的第行主对角元右边含主对角元的对应元素，得，再对比等式两边第列主对角元以下不含主对角元的对应元素，得，所以，当时假设已经求出的第至行，的第至列，则由和分别求出的第行的第列元素的计算公式为，，由式所表示的矩阵分解称为分解，也称分解。

分解对应的求解方程组的公式为如果在式中，设为单位上角形矩阵，为下角形矩阵，和分解的方法相似，也可以推导出计算和的计算公式，，规定上述分解称为分解。

相应的求解公式例用法解方程组。

解由公式计算得，。

对于，用公式计算得，，。

解，由公式计算得。

解，由公式计算得。

迭代法前面介绍的如高斯消去法等方法都属于直接法，而迭代法与直接法相对应，是种不断用变量的旧值递推新值的过程。

使用迭代法求解线性方程组时，首先要把它变形成如下形式的等价方程组，其中，方程组的解是方程组的解，相反，的解也是方程组的解。

中矩阵称为迭代矩阵。

线性方程组解法的研究。

例在中按通常内积定义求单位向量与个向量正交。

解设所求的单位向量为，它与个向量正交的充要条件是是方程组的非零解。

方程组的系数矩阵的秩为小于，所以方程组有非零解。

令，可得个向量即为所求的向量。

线性方程组理论在求解方程上的应用利用齐次线性方程组理论齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。

还可以求解元方程组，在求解的过程当中，把其中个变量作为常数即可。

例求方程组的全部解。

解把看成常数，方程组可以写为，则有，解得，。

代入方程组得，，所以方程组的全部解为，。

在几何上的应用线性方程组理论和方程的求解不仅在线性代数中有广泛的应用，并且在解析几何中的求解和证明都有很多应用，比如用求解线性方程组或方程组理论来判断直线或点在平面上或空间中的位置关系等应用。

例求过两点的直线方程，其中。

解设所求的直线方程为，则线性方程组有非零解，由线性方程组理论可知，化解的，把代入得所求的直线方程为。

例求过点，与平面平行且与直线相交的直线的方程。

解设直线的方向向量，，由直线的方程可知的方向向量为，，且过点，。

由与相交，有，即，展开得，又与平行，有联立方程组得，令为自由未知量，取，则，，再由已知点，得所求直线的方程为。

直接角分解法直接角分解法是高斯消去法的变形，它的基本方法有法和法，都包括分解系数矩阵和求解两个角形方程组的过程。

如果方程组的系数矩阵可分解为两个形式简单的角形矩阵和的乘积，即，若为下角形矩阵，则为上角形矩阵，反之亦然。

所以，求解方程组的问题可转化为解角形方程组。

设矩阵的各阶顺序主子式均不为零，有分解式。

对比等式左右两边的第行主对角元右边含主对角元的对应元素，得，再对比等式两边第列主对角元以下不含主对角元的对应元素，得，所以，当时假设已经求出的第至行，的第至列，则由和分别求出的第行的第列元素的计算公式为，，由式所表示的矩阵分解称为分解，也称分解。

分解对应的求解方程组的公式为如果在式中，设为单位上角形矩阵，为下角形矩阵，和分解的方法相似，也可以推导出计算和的计算公式，，规定上述分解称为分解。

相应的求解公式例用法解方程组。

解由公式计算得，。

对于，用公式计算得，，。

解，由公式计算得。

解，由公式计算得。

迭代法前面介绍的如高斯消去法等方法都属于直接法，而迭代法与直接法相对应，是种不断用变量的旧值递推新值的过程。

使用迭代法求解线性方程组时，首先要把它变形成如下形式的等价方程组，其中，方程组的解是方程组的解，相反，的解也是方程组的解。

中矩阵称为迭代矩阵。

取初始向量代入方程组，得，以此类推，有，，„„它的般形式可以写为迭代法设线性方程组的般形式为，设矩阵非奇异，且把上面的式子移项并且变形后可得将上式写成迭代格式，即上述迭代法就称为迭代法。

设则它的矩阵形式表示为其中，。

迭代法迭代法是在迭代法的基础上进行改进，有写成矩阵形式并整理后可得，令，则。

线性方程组理论和它的求解，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科技领域和日常生活中应用都十分广泛。

这里只介绍它的其中几个方面的应用，随着线性方程组理论的不断发展和完善，它的应用也必将越来越广泛。

线性方程组理论与矩阵有很密切的关系，特别是矩阵的秩，所以些矩阵的问题用线性方程组的性质来解决会比较简单。

基本理论线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等为阶矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是为阶矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是若和分别为与矩阵，则若的解都是的解，那么若与同解，则若的解都是的解，且，那么与同解。

例设，分别为，矩阵，为维列向量，试证若，则。

证因为，所以线性方程组有解。

设是方程组的解，那么有，即线性方程组有解，所以。

例设，为阶矩阵。

证明如果，那么。

证明设，即是的列向量，由知是方程组的解向量。

又因为的解向量的秩等于，