非线性方程组的迭代解法(2) ㊣ 精品文档 值得下载

于分法只能执行有限次。

非线性方程组的迭代法解法般概念基于不动点原理和变分原理是求解非线性方程组数值解法的两大思想主流，现在我们讨论基于不动点原理的基本方法的两个策略方法非线性古典迭代法从解线性方程组的相应方法推广而来，它基于单个非线性方程的迭代。

有非线性迭代非线性迭代和非线性迭代。

基于整体方程的迭代先将原方程组化为等价的不动点方程组其中不动点函数是定义在定义域上的多元连续函数，即，由此可建立种向量迭代格式。

整体迭代整体迭代整体迭代。

整体迭代格式是最常用的，现有的理论分析主要针对它的其迭代格式为即整体迭代方式为类似地有整体迭代例求解非线性方程组，，解分别构造和不动点迭代格式为，和取初始值，则迭代的计算结果为可以看出，上述迭代格式是收敛的，但收敛不快。

如用迭代，可加快本题的收敛速度但是如果将原方程组构成下列迭代形式仍用原始初值，迭代序列则发散。

由此可见，迭代序列是否收敛是迭代法首要功能，它不仅与迭代函数有关，也可与初值的选择有关。

研究非线性方程组的解的存在性和有效解法已有很多成果。

下面我们将介绍解非线性方程组的不动点迭代法和牛顿迭代法。

非线性方程组的迭代解法。

非线性方程的根的定位和分法根的定位出于迭代法确定初始解的需要，我们需要弄清解的分布情况，在解非线性方程过程中，我们首先要确定根所在的区间，进行方程根的定位。

般定位方法使用数学分析的方法，讨论及其导数，在各个区间的值，找出他的单调区间拐点渐近线等特征量，弄清的性态等，当函数简单时，可以作图分析。

运用于连续函数，在区间如，则方程在，上至少存在个根。

按照个规则把，分成几个子区间。

在子区间，计算，并记下符号，当发现两个端点的函数值异号，那么该子区间至少有个实根。

如果还能确定该区间上函数的单调性，就可以进步确定该区间为根的隔离区间。

逐步搜索法虽然直观简单，但由于其步长不易确定，当根为偶次重根时不能达到目的。

下面我们将对逐步搜索法稍加改进，使之能成为使用的方法，即分法。

分法将有根区间，用中点将它平分。

如不是的零点，则继续搜索，检查与的符号，如果同号，其所求根在的右侧，此时令，，无论出现什么情况，新有根区间，长度为原区间的半。

证明用反证来论证不动点的唯性，假定有两个不同的和，都是的不动点，既有，，那么如果有条件来限制函数对任意，∈都存在个小于的正数，使得那么由就有但这是不可能的，引起矛盾。

因此，条件可保证不动点的唯性这个条件称为条件直观上看条件的作用是限制不要变化得太快。

下面进步探讨不动点收敛的具体形式。

设满足定理中的两个条件，∈，是在，上的唯不动点，可知序列，由条件，有依次类推，即得由于，故故有因此，由定理的两个条件，可直接推出不动点序列收敛于不动点的结论。

由于这样的收敛对只要求在，内，没有其他限制如要靠近，所以称为全局收敛，这当然是我们希望的，不仅如此还可以得到误差估计。

进步，对于任意正整数，有，两边对取极限另方面两边对取极限，可得到另个误差估计式，总结以上推导演绎过程，可归纳为下列充分定理。

定理不动点迭代收敛与误差估计设迭代函数∈由不动点迭代格产生的序列必收敛于的不动点，并有误差估计或有时分别称和为先验估计，由它们可估计需要迭代的步数。

非线性方程组的迭代解法。

非线性方程的根的定位和分法根的定位出于迭代法确定初始解的需要，我们需要弄清解的分布情况，在解非线性方程过程中，我们首先要确定根所在的区间，进行方程根的定位。

般定位方法使用数学分析的方法，讨论及其导数，在各个区间的值，找出他的单调区间拐点渐近线等特征量，弄清的性态等，当函数简单时，可以作图分析。

运用于连续函数，在区间如，则方程在，上至少存在个根。

按照个规则把，分成几个子区间。

在子区间，计算，并记下符号，当发现两个端点的函数值异号，那么该子区间至少有个实根。

如果还能确定该区间上函数的单调性，就可以进步确定该区间为根的隔离区间。

逐步搜索法虽然直观简单，但由于其步长不易确定，当根为偶次重根时不能达到目的。

下面我们将对逐步搜索法稍加改进，使之能成为使用的方法，即分法。

分法将有根区间，用中点将它平分。

如不是的零点，则继续搜索，检查与的符号，如果同号，其所求根在的右侧，此时令，，无论出现什么情况，新有根区间，长度为原区间的半。

对新有根区间继续上述操作可得到新的更小的区间，依次类推，得到系列区间，这些区间都是前个的半，且有当时，的长度会趋于零，即这些区间将最终收敛于个点。

此点为方程所求的根在实际操作对于分法只能执行有限次。

非线性方程组的迭代法解法般概念基于不动点原理和变分原理是求解非线性方程组数值解法的两大思想主流，现在我们讨论基于不动点原理的基本方法的两个策略方法非线性古典迭代法从解线性方程组的相应方法推广而来，它基于单个非线性方程的迭代。

有非线性迭代非线性迭代和非线性迭代。

基于整体方程的迭代先将原方程组化为等价的不动点方程组其中不动点函数是定义在定义域上的多元连续函数，即，由此可建立种向量迭代格式。

整体迭代整体迭代整体迭代。

整体迭代格式是最常用的，现有的理论分析主要针对它的其迭代格式为即整体迭代方式为类似地有整体迭代例求解非线性方程组，，解分别构造和不动点迭代格式为，和取初始值，则迭代的计算结果为可以看出，上述迭代格式是收敛的，但收敛不快。

如用迭代，可加快本题的收敛速度但是如果将原方程组构成下列迭代形式仍用原始初值，迭代序列则发散。

由此可见，迭代序列是否收敛是迭代法首要功能，它不仅与迭代函数有关，也可与初值的选择有关。

研究非线性方程组的解的存在性和有效解法已有很多成果。

下面我们将介绍解非线性方程组的不动点迭代法和牛顿迭代法。

非线性方程组的迭代解法。

如果在上为压缩映射，则在上必连续，其次，压缩性与所取的范围有关，对种范数压缩，不等于对另种范数也压缩。

定理压缩映射原理设在闭集上是压缩映射，且把映入自身，既有，则在中存在唯的不动点。

定理给出的是区域上的大范围收敛性，要验证其条件不太容易。

所以在已知不动点的情况下，验证在局部条件下的压缩条件更容易些。

定理局部收敛定理设为迭代函数的不动点，如果存在开领域，和，使得，则对任意的初始值，是迭代函数的收敛点。

定理局部收敛定理设迭代函数为连续函数，若在内存在的个不动点，在处存在导数，且有的谱半径不超过，即则存在的个开领域，对于任初始值，迭代格式产生的迭代序列收敛到例用不动点迭代法求解方程组，解将原方程组改写为等价形式，在区域，上则对切，，有取，则。

迭代收敛。

取，，迭代步，得方程组的近似解，法牛顿法牛顿迭代法格式设方程组存在解，在的个开领域，内可微，又设是方程组的第次近似解，由泰勒公式得由此解出的作为次的近似解，故有其中就是在处得矩阵，给出初始值，上述迭代格式可生产序列，用格式求解非线性方程组的方法称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿迭代法的收敛性质求解非线性方程组的牛顿法般只有局部收敛性。

现在给出引理设，其中是上的连续函数，设，如果非奇异，则存在开领域和常数，对于任意，均为非奇异，并有估计式证明省略。

定理设是的解，在上可微，如导数在上非奇异且连续函数，则有开领域，对任意，，由牛顿迭代格式生产的向量序列必收敛于证明设由定理条件知所有元素都是上包含的连续函数，所以由的非奇异性和引理可知，存在使对所有的，均为非奇异。

由的定义，得牛顿法的迭代函数为设，则可把写为分量式对上式的两端关于的求偏导，得将代入，注意到，于是，上式的矩阵形式是将代入，则得即牛顿法的迭代函数在处的矩阵为零矩阵，于是其谱半径为零，即，由定理知，使对任意初始值，，由牛顿法产生的序列必收敛于引理设在上具有连续偏导数，则对任意，，有证明省略。

定理设是的解，在上的连续可微，导数在上非奇异且连续，如非奇异，并且对任意，存在常数，成立有则存在开球和常数，对任意的初始值，，由牛顿公式所产