最小二乘法及其应用(1) ㊣ 精品文档 值得下载

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今天，科学与实验理论分析起成为当今科学活动的主要方式。

在物理化学力学材料科学环境科学信息科学和生物科学等领域，计算方法和技术已经成为被广泛接受的科学研究手段。

现在，计算在科学研究和工程设计中几乎无所不在，对科技的发展起到举足轻重的作用。

最小乘法作为计算方法中个重要的数学方法，得到了广泛的研究与应用。

发现最小乘法的动因是天文学和测地学中处理数据的需要。

陈希孺先生所著数理统计学简史中记载了这样段历史。

在世纪，天文学和测地学中的些数据分析问题可以描述如下有个可以测量的量„和个未知的参数„，。

按照种理论，它们之间应有线性关系。

但是由于实际工作中对„，的测量存在误差，而且式只是理论上的近似而非严格成立。

也就是说，式左边的表达式实际上不等于，其真实值与测量有关，可视为种误差。

若进行了次测量，在实际问题中，总是大于甚至是远远大于，目的是多提供些信息，以便对参数„，作出较精确的估计。

设在第次测量中，„，分别取值„则按照式，应有，„，若式严格成立，则只要从上述个方程中任意挑出个就可以解出„，的值。

但式并非严格成立，于是需要设计合适的算法来估计参数的值。

年，天文学家梅耶发表了种方法，他在研究海上航行船只的定位问题时，得到了个包含个未知参数的形如式的关系式以及组观测数据。

梅耶把这个方程分成组，然后把每组中的个方程相加，共得到个方程，这样可以解出个未知参数。

至于分组的方法，梅耶以其中个系数为准，按各方程中此系数的大小分组最大的个，最小的个和剩下的个各成组。

在最小乘法发现之前，这个方法曾经比较流行，并被冠以梅耶的名字。

值得提的是，梅耶还估计了这种方法的误差，并试图对误差的界限作个估计。

虽然今天看来梅耶的做法有些，但他在那么早的阶段就做出这种努力，是难能可贵的。

年，拉普拉斯在研究天文问题时引出了个形如式的，的方程组。

他的求解方法是，先把个方程编号，然后按下列方式得到需要求解的个方程。

方程个方程的和方程前个方程之和后个方程之和方程编号为，的方程之和编号为的方程之和方程编号为，的方程之和编号为的方程之和。

拉普拉斯没有解释如此组合的原因，这使得他的方法无法应用于类似的问题。

对解决这类问题做过尝试的还有大数学家欧拉，但他的做法显得杂乱无章，缺乏基本的合理性。

看来这个问题的解决还需要点新的思路。

年，法国数学家勒让德采取了个新的角度来考虑这个问题。

他不再关心如何找出个数等于未知数个数的方程组，而是考虑如何使误差在整体上达到平衡，于是他采取使的原则去求解„，。

这原则使误差不过分集中在几个方程上，而是比较均匀地分布于各方程，从而有助于揭示系统的更接近真实的状态。

而勒让德之前的学者的做法对于误差在各方程之间的分布的影响是不清楚的。

后来，最小乘法逐步渗入到统计数据分析领域，对统计学的发展产生了重大影响。

统计史家对此评价很高，有的认为最小乘法之于统计学，犹如微积分之于数学。

有的学者称最小乘法是世纪统计学的中心主题。

最小乘法之所以能获得如此的显赫地位，主要得益于它与线性模型的联系。

勒让德创设最小乘法是为了解决形如式的线性表达式如今已发展为线性模型的，由此导出的也是个线性的方程组，这使得最小乘法具有计算简便的特点。

但更加重要的是，线性的特点使最小乘法在误差分析方面较之其他方法具有不可替代的优势。

在年高斯对最小乘估计进行的误差分析中发现，在线性模型的所有无偏估计类中，最小乘估计是唯的方差最小的无偏估计进入世纪后，哥色特费歇尔等人还发现，在正态误差的假定下，最小乘估计有较完善的小样本理论，使基于它的统计推断易于操作且有关的概率计算不难进行。

与此同时，对最小乘法误差分析的研究也促进了线性模型理论的发展。

如今，线性模型已经成为理论结果最丰富应用最广泛的类回归模型。

毕业论文开题报告信息与计算科学最小乘法及其应用选题的意义最小乘法多次出现于各种数学教材与测绘教材中，说明了它的广泛的实际应用能力。

它最早是有高斯提出的，他用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了些行星和彗星的天体轨迹。

这类天体的椭圆轨迹由个参数确定，原则上，只要对它的位置做次测量就足以确定它的整个轨迹。

但由于存在测量误差，由次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。

最小乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的维参数空间。

假如想了解个地方的月降雨量，个月的观测当然不够，任何个月都可能是异常晴朗或异常多雨。

相反，人们应该研究几个月或至少年甚至十年，并将所有数据加以平均。

平均的结果对任何个具体的月份并不定能完全符合，但凭直觉，这个结果所给我们的标准降雨量图形将比只研究个月所得到的结果要准确得多。

这个原理在观察和实验科学领域是通用的。

它是通过多次测量消除测量误差及随机波动。

木匠的格言量两次，再下手也正是这个常识的个例子。

在降雨的例子中，我们用个数来代表或定程度地近似整个测定数据的效果。

更般的，鉴于各种理论和实际的原因，常用低维来近似说明高维的对象。

在下面几种工作中都可以采用这个方法，象消除误差或忽略无关细节，从干扰数据中提取信号或找出趋势，将大量数据降低到可管理的数量或用简单的近似来代替复杂函数。

我们并不期望这个近似值多么精确，事实上，在许多时候它也不用很精确。

但尽管如此，我们还是希望它能保持对原始数据的相似之处。

在线性代数领域，我们希望将个高维空间的向量投影到低维子空间，完成这个工作的最普遍和最便于计算的方法之就是最小乘法。

本文首先对最下乘法的定义基本性质等作了些阐述，然后通过例子介绍各种最小乘法的具体的方法，如递推最小乘法，泛最小乘法，非线性最小乘法，整体最小乘法等，之后加以延伸综合，通过这系列类型的方法的归纳总结，进步提高我们对最小乘法的认识，最后本文简单地阐述了最小乘法在些主要问题的应用，让文章更加完整，也更加巩固了我们所学的计算方法的知识，提升了我们对数学的理解和应用能力。

研究的主要内容，拟解决的主要问题阐述的主要观点本文研究的主要内容及解决的主要问题是各种最小乘法及其有关应用。

研究工作步骤方法及措施思路研究步骤确定论文方向为各种最小乘法的讨论与研究，收集相关资料，完成任务书确定论文的进度安排及篇外文翻译。

完成论文的开题报告，文献综述，确定论文框架和提纲。

充实资料，完成初稿并根据指导老师意见修改论文初稿。

根据指导老师的意见，修改论文。

论文定稿，打印，送审。

下面我们用个例题来更加详细的了解最小乘法的用法。

首先利用法方程公式中的内积，，。

例求拟合下列数据的最小乘解。

解可以再坐标平面上描出点，。

根据散点的分布情况，选用线性函数作拟合函数故取，。

建立法方程组，这里，。

现在可以利用公式计算，，，，，法方程组为。

用直接角分解法解得，。

从而为所求最小乘法。

平方误差，。

最小乘法的基本公式最小乘法的误差基本公式如下。

毕业论文开题报告信息与计算科学最小乘法及其应用选题的意义最小乘法多次出现于各种数学教材与测绘教材中，说明了它的广泛的实际应用能力。

它最早是有高斯提出的，他用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了些行星和彗星的天体轨迹。

这类天体的椭圆轨迹由个参数确定，原则上，只要对它的位置做次测量就足以确定它的整个轨迹。

但由于存在测量误差，由次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。

最小乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆