1、并∩即对是可分配的，对是不可分配的。腐蚀膨胀和图像之交∩∩马函数Г时才是正确的。当分母如表达式所示时，该密度近似称为爱尔兰密度。指数分布噪声指数噪声的可由下式给出其中。概率密度函数的期望值和方差是注意，指数分布的概率密度函数是当时爱尔兰概率分布的特殊情况。图显示了该密度函数的曲线高斯瑞利伽马指数均匀脉冲图些重要的概率密度函数均匀噪声分布均匀噪声分布的概率密度，由下式给出其他概率密度函数的期望值和方差可由下式给出图显示了均匀密度的曲线。脉冲噪声椒盐噪声双极脉冲噪声的可由下式给出其他如果，灰度值在图像中将显示为个亮点，相反，的值将显示为个暗点。若或为零，则脉冲噪声称为单极脉冲。如果和均不可能为零，尤其是它们近似相等时，脉冲噪声值将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲声也称为椒盐噪声。同时，它们有时也称为散粒和尖峰噪声。图显示了个非常适合。
2、带子图像。可以从基本统计量出发利用下面的样本近似其中值是中像素的灰度值，且表示相应的归化直方图值。直方图的形状指出最接近的匹配。如果其形状近似于高斯，那么均值和方差正是所需要的，因为高斯可以通过两个参数完全确定下来。用均值和方差来解出参数和。脉冲噪声用不同的方法处理，因为需要估计黑白像素发生的实际概率。获得这些估计值图像中去，通过组合，形成了些形态学分析算法和系列形态学处理算法，这些算法主要包括膨胀腐蚀开闭等运算，并对这些算法进行了深入的研究。全文共分三章第章介绍了数学形态学的发展状况以及其在数字图像处理中所应用概况第二章详尽介绍了数学形态学的基本运算及其基本性质第三章用形态学滤波器去处理图像噪声。二数学形态学的基本运算基本概念二值腐蚀和膨胀二值图像是指那些灰度只取两个可能值的图像，这两个灰度值通常取为和。习惯上认为取值的点对应于景物中的点，取值为的点构成背景。这类图像的集合表示是直接的。考虑所有值点的集合即物体，则与图像是对应的。我们感兴趣的也恰恰是。于阐述刚刚所讨论的噪声模型的测试图。之所以选择它，是因为它是由简单恒定的区域所组成，且其从黑到近似于白仅仅有个灰度级增长跨度。这方便了对附加在图像上的各种噪声分量特性的视觉分析。图显示了叠加了本节讨论的种噪声的测试图。所示的每幅图像的下面是从图像直接计算而来的直方图。在每种情况下选择噪声的参数，这样对应于测试图中种灰度的直方图将开始合并。这可以使噪声十分显著，而不会使构成图像的基本结构变暗。比较图的直方图和图中的概率密度函数，可以看到相近的对应关系。椒盐噪声实例的直方图在光谱的白端有个额外的尖峰，因为噪声分量是纯黑或纯白，并且在测试图中最亮的分量圆是亮灰度。除了少许亮度不同外，在图中很难区别出前幅图像有什么显著的不同，即使它们的直方图有明显的区别。椒盐噪声是惟种引起退化的视觉可见的噪声类型。图用于说明示于图的噪声特性的测试图高斯瑞利伽马指数均匀椒盐图六种噪声的测试图噪声的参数的估计典型的周期噪声参数是通过检测图像的傅里叶谱来进行估计的。像在前几节提及的那样，周期噪声趋向于。
3、集合的性质。如何对集合进行分析呢数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。其采用的是主观探针与客观物体相互作用的方法。探针也是个集合，它由我们根据分析的目的来确定。术语上，这个探针称为结构元素。选取的结构元素大小及形状不同都会影响图像处理的结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。为此，数学形态学定义了两个最基本的运算称为腐蚀和膨胀。二值腐蚀运算腐蚀是表示用种探针即种形状的基元或结构元素对个图像进行探测，以便找出图像内部可以放下该基元的区域。它是种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。利用结构元素填充的过程，取决于个基本的欧氏空间概念平移。我们用记号表示个集合沿矢量平移了段距离。集合被腐蚀，表示为，其定义为其中称为输入图像，称为结构元素。由将平移仍包含在内的所有点组成。如果将看作模板，那么，则由在将模板平移的过程中，所有可以填入内部。 产生频率尖峰，这些尖峰甚至通过视觉分析也经常可以检测到。另种方法是尽可能直接从图像中推断噪声分量的周期性，但这仅仅在非常简单的情况下才是可能的。当噪声尖峰格外显著或可以使用关于干扰的频率分量般位置的些知识时，自动分析是可能的。噪声参数般可以从传感器的技术说明中得知，但对于特殊的成像装置常常有必要去估计这些参数。如果成像系统可用，那么研究这个系统的噪声特性最简单的方法就是截取组平坦环境的图像。例如，在光学传感器情况下，这就像对个固体的光照均匀的灰度板成像样简单。结果图像是个典型的系统噪声良好的指示器。当仅仅通过传感器产生的图像可以利用的时候，常常可以从合理的恒定灰度值的小部分估计的参数。例如，在图中所示的垂直带像素是从图中高斯瑞利和均匀图像中获取的。所显示的直方图是通过这些小带的图像数据计算出来的。与图中的直方图相对应的图中的直方图是图三组中的组。可以看出，这些相应的直方图形状非常接近于图中的直方图形。图利用图像带中的数据最简单的方法是计算灰度值的均值和方差。考虑由定义的条。
4、并∩即对是可分配的，对是不可分配的。腐蚀膨胀和图像之交∩∩马函数Г时才是正确的。当分母如表达式所示时，该密度近似称为爱尔兰密度。指数分布噪声指数噪声的可由下式给出其中。概率密度函数的期望值和方差是注意，指数分布的概率密度函数是当时爱尔兰概率分布的特殊情况。图显示了该密度函数的曲线高斯瑞利伽马指数均匀脉冲图些重要的概率密度函数均匀噪声分布均匀噪声分布的概率密度，由下式给出其他概率密度函数的期望值和方差可由下式给出图显示了均匀密度的曲线。脉冲噪声椒盐噪声双极脉冲噪声的可由下式给出其他如果，灰度值在图像中将显示为个亮点，相反，的值将显示为个暗点。若或为零，则脉冲噪声称为单极脉冲。如果和均不可能为零，尤其是它们近似相等时，脉冲噪声值将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲声也称为椒盐噪声。同时，它们有时也称为散粒和尖峰噪声。图显示了个非常适合。 膨胀还可以通过相对结构元素的所有点平移输入图像，然后计算并集得到,可用如下表达式描述∈此方程定义的膨胀，历史上称为珑和。本文对要测试的原始图像如图分别进行了腐蚀运算和膨胀运算得到的结果如图,所示。图原始图像图腐蚀图像图膨胀图像腐蚀和膨胀的代数性质膨胀满足两个最基本的运算关系，个是交换律，另个是结合律。即由上式可知腐蚀运算是不可交换的，但腐蚀运算具有结合律。此式可以表明，当图像用个大的结构元素去腐蚀时，其结果与用和连续腐蚀时相同，而腐蚀结果与用结构元素的腐蚀顺序无关。根据这性质，我们可以只存储些简单而基本的结构元素，等等，旦需要时便可由他们对图像做连续腐蚀，以取代各种复杂的结构元素。腐蚀和膨胀运算具有以下的性质腐蚀膨胀和图像之值需要黑白像素是可见的，因此，为了计算直方图，图像中个相对恒定的中等灰度区域是必需的。对应于黑白像素的尖峰高度是在式中的和的估计值。滤波器的设计对于二值图像，噪声表现为目标周围的噪声块和目标内部的噪声孔。用结构元素对集合进行。
5、 游离的噪声将被滤除。若初始图像为，结构元素为，则形态滤波器可以这样来构成,或,形态滤波器的详尽描述如下或如果结构元素包括原点则腐蚀和膨胀满足以下性质性质这性质表明，在包括原点的前提下，腐蚀后的结果只会使的点数减少或者不变，而膨胀则使的点数增加或者不变。利用前点，可以通过设计适当的结构元素，使得腐蚀后得以消除中的微小颗粒，即噪声点。利用后点，又可以对腐蚀结果再用进行膨胀，以恢复有用信息细节部分。性质对开运算和闭运算，恒有,,即开运算使原图形缩小而闭运算使原图形增大。根据上面的讨论以及开闭运算的性质不难证明形态开闭和形态闭开滤波器具有如下些重要性质平移不变性递增性如果是的子集，则,,幂等性对偶性形态滤波器的输出不仅取决于变换的形式，而且取决于结构元素的尺寸和形状，般只有与结构元素的尺寸和形状相匹配的基元才能被保留。滤波器对图像噪声的处理形态学运算可以用于构造与空间滤波概念相类似的滤波器。显示于图中的二值图像显示了受噪声污染的部分指纹图像。这里噪。启操作，就可以将目标周围的噪声块消除掉用对进行闭合操作，则可以将目标内部的噪声孔消除掉。该方法中，对结构元素的选取相当重要，它应当比所有的噪声孔和噪声块都要大。数学形态学的运算以腐蚀和膨胀这两种基本运算为基础，引出了其它几种常用的数学形态学运算腐蚀膨胀开运算闭运算细化和粗化，它们是全部形态学的基础。形态滤波器是由以集合论为基础的开闭运算组成，它们具有不模糊图像边界的特性，采用形态算子对基元和图像进行处理便构成了数学形态学滤波器。数学形态学滤波器在图像处理和分析中有着广泛的应用，般说来开运算用来消除散点毛刺和小桥，即对图像进行平滑，闭运算则填平小洞或将两个邻近的区域连接起来。同时，形态学又十分强调图像的几何结构和几何特征，所以形态滤波器在图像滤波分析处理和压缩编码等领域展示了美好的应用前景。由于形态学的开和闭运算具有消除图像噪声和平滑图像的功能，因此使用形态学开闭运算建立的形态滤波器逐渐发展起来。形态滤波器是用个结构元素对初始图像串联地使用开闭操作。这样图像中比结构元素小的。
6、模板的原点组成。根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图像大概可以分为两类如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图像为输入图像的子集，如图所示。如果原点在结构元素的外部，则腐蚀后的图像可能不再输入图像的内部，如图所示。图腐蚀类似于收缩图腐蚀不是输入图像的子集腐蚀除了用填充形式表示外，还有个更重要的表达形式∩∈这里腐蚀可以通过将输入图像平移属于结构元素，并计算所有平移的交集而得到。二值膨胀运算膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。我们以表示集合的补集，表示关于坐标原点的反射。那么，集合被膨胀，表示为，其定义为在图中，为个包含原点的圆盘，利用对进行膨胀的结果是使扩大了。因为膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它表示对图像外部滤波处理。而腐蚀则表示对图像内部作滤波处理。图利用圆盘膨胀如果结构元素为个圆盘，那么，膨胀可填充图像中的小孔相对于结构元素而言比较小的孔洞，及在图像边缘处的小凹陷部分。而腐蚀可以消除图像中小的成分，并将图像缩小，从而使其补集扩大。。
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