的集合,有更大的超限数。超限数与有限数完全不同,有天壤之别。就部分和整体来说,对于超限数,部分可以等于整体奇数集偶数集是自然数集的部分但它们能与自然数集建立对应关系,表明与自然数集样大。无理数集明明只是实数集的部分,但已经证明,无理数集合对等于实数集合。总之,在无限集合里,部分可以和全体对等,这与我们的常识是如此的不相容,高斯在年给舒马赫的信中,以十分坚决的口吻表明了自己的见解“我必须最强烈地反对你使用无限大作为种完善的东西,因为这在数学上是从来不允许的。无限大只不过是种讲话方式,意味着种极限,当允许些比率无限增大时,些特定比率可以任意地逼近该极限。”柯西同样不承认该无限集合的存在。就运算法则来说,超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的我们已经知道自然数集合的基数是超限数,是最小的超限数,康托尔用个希伯来字母表示,读作阿列夫零。，，，，，，这种运算是古怪的,是有限数学没有的。这就是希尔伯特的故事答案,他说明了下面真理即可数集加上个或个元素仍是可数集加上可数个元素仍是可数集。就与现实的关系来说,超限数也是与有限数不同的个有限数,无论它有多大,我们总可以找到它的现实背景,它与现实的联系。然而,我们确找不到超限数的现实背景,以及它与现实的联系。希尔伯特说“在现实中找不到无限。它既不存在于自然界,也没有理论思维提供合理的基础。”江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文我们可以看出,超限数与有限数在各个方面都是完全不同的,没有任何相似之处,也没有任何联系,我们还可以发现无限与现实之间的间接联系。而超限数的创立使我们认识到,无限可以脱离有限而存在,也就割断了无限与现实之间的联系。有人说“惊人之多的有限不就是无限么”,不是这样的,甚至沙子的数目星星的数目也只是积例如求由函数，直线所围成的曲边梯形的面积。步骤如下将区间，分成个小区间,,每个区间上任取点，以作为矩形的高，求出个矩形的面积并求和数列极限的公式数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则必须满足若存在及存在，则存在，且例如个如何计算按照有限的计算法则，个个，显然这个例题的结论是错的，所以不能用有限个的运算法则来替代无限的运算此处有限和无限是无法统于个运算法则中数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的。球表面积体积公式的推导球的表面积体积公式推导也是种无线分割思想的运用。江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文图图二如图所示，如图，将球分割成份四棱锥，其体积由上述球的体积公式，得结合律和分配律的使用大家都知道，这在有限相加的世界里似乎没什么问题然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错，不妨看下式如何计算，假如数的加法可以任意结合，那么江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文，好像不错，注意还可以这样用结合律，也没有问题，这是推出的结论就有大问题了，原因何在呢解释并不困难结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确是正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”。无限与有限的联系无限是有限的基础自然数有无穷多个,但没有最后个,设想如果确实存在这种数,例如,那我们不但得忽略比大的任何数,而结果超过的所有计算例如或都示了无限。对于般分数分母为及其自乘除外而言,把它改写为小数后变成无限循环小数,而平方根数般情况下也可用无限非循环小数表示。圆周率等有限数可作为近似值表示,但实际却是无限非循环江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文小数,可用其它无限小数表示的数很多。圆周率和自然对数的底是无序数字排列的无限小数,但其近似值可以用完美的分数和表示。圆周率莱布尼茨公式自然对数的底！！！习惯上,人们总认为,无限比有限大,比有限多,无限应包含有限,无限由有限组成。然而,现在我们知道,这种看法并不总是正确的。现代数学的发展,使我们看到有限中的无限,有限与无限的这种新的联系,是由数学家首次发现并运用的。无限是有限的延伸实际上,我们在初等数学中就已经接触到无限了,前面提到的自然数直线就是两个很好的实例。数学归纳法在数学中,我们如何由有限进入到无限,得到普遍的定理呢是通过数学归纳法。通常将数学归纳法陈述如下若个命题,当时成立。假定该命题当时成立的情况下,能证明当时也成立。那么就可以断言这个命题对于所有的自然数都成立。例如，在自然数序列中，考察连续自然数的平方和我们发现自然数序列前个,二个个连续自然数的平方和等于这个和中加数个数与的乘积的六分之,即江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文但这仅是个猜想而已,对所有的自然数都成立么若不成立,举反例即可若成立必须作进步证明。用自然数个个地验算是不行的,因为自然数有无数多个,无论我们用了多少个自然数,也无法得到对于切自然数都成立的普遍定理。这时就必须采用数学归纳法。这种数学归纳法也叫“将棋个压个横倒论证法”或“多米诺骨牌横倒论证法”。这是因为最初的个骨牌滑倒下去后,后面的骨牌就跟着个压个无限地倒下去。庞加勒在讲到数学归纳法的作用时指出“棋手能预料四五步棋,不管他多么非凡,他也只能准备有限步棋,假使把他的本领用于算术,他也不能凭借单的直觉直接洞察算术的普遍原理,为了获得最普遍的定理,他变得“不合法”,换句话说,通常的计算技巧必须抛弃，数字计算的整个系统我们熟悉的计算规则,将会像个用纸牌搭成的纸房子那样倒塌。所幸的是情况并非如此，我们总是把计数数的无限性当作个公理,即当作个其实效性可被认为理所当然的语句,如果以种更正规的方式叙述,该公理可表述为每个自然数都有个后继数。可见，有限的运算是建立在无限的基础保证之上的,无限就像个个无孔不入的微尘充满在大气中,不论喜欢不喜欢它,它都存在且帮着你。在几何学中十分重要的“直线”概念,也是以类似假定为基础的我们能够在两个方向上无限地延长直线至少在原理上如此。在同个平面内两条直线平行,我们是说它们永远不相交,没有交点。“平行”和“相交”没有无限作基础,很难说清楚,更难理解。甚至在像概率这样看起来“有限的”数学分支中,无限的概念也起着种微妙的作用当我们掷十次硬币时,可能会得到五次“正面”和五次“反面”,或者六次“正面”和四次“反面”,或者得到其它结果,但是当我们说到“正面”或“反面”的概率相等时,我们心照不宣地假定当掷币的次数无限多时,就会产生相等的结果。无限是由有限构成的自然数无限多,但任何个自然数却都是有限的。由切有限的自然数构成江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文个无限的自然数集合,这看来矛盾,但实际上正是如此。现代的人谁也不会妄言自然数有限多,但同样谁也举不出个无限的自然数。但这无限的现实世界却是由个个具体的有限的物质世界构成的,与之相应的任何个自然数都是有限的。再如调和级数是发散的,但它的任何部分和都是有限的,只是当时,部分和才超过任何个指定的数,其它发散级数通常也是如此。正是因为无限是由有限构成的,所以人们才可以通过有限来认识无限。分析数学中各种收敛性,正是通过有限部分和来判断有限收敛或无限发散的,这就是说,无限纯粹是有限构成的,哲学无限如此,数学无限也是如此。在定条件下,有限可以转化为无限,这里所说的定条件,在数学中是由严格的收敛性判则规定的。如“尺之棰,日取其半,万世不竭”。说的是,尺之长的短棍,今日取其半,明日再取其剩余的半依次下去,这是个无限的过程。但把所有“其半”加在起,刚好就是原来的那个“尺之棰”。无限的“万世不竭”的东西恰好与有限的“尺之棰”相当,在这里,无限与有限的差别就消失了,也就是说,无限已转化为有限了。用数学中的级数公式表示,恰如其分地反应这辩证关系。有限由无限组成有限范围内封闭无限。如在数轴上与之间的有限长度上有无限多个点,甚至不知为什么对这样的概念难以理解,但无论什么情况下,都是无限封闭在有限里。又如在正五角形正方形等图形中,可以作出无限多个与其自身相似的图形。也就是说可以将无限封闭在这种正五角形正方形中如图和图。图正五角形图正方形有限江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文目录前言例谈数式中有限与无限定积分数列极限的公式球表面积体积公式的推导结合律和分配律的使用无限与有限的联系无限是有限的基础无限是由有限构成的有限由无限组成无限是有限的延伸数学归纳法无穷远点有限与无限的区别离了有限的超限数就部分和整体来说,对于超限数,部分可以等于整体就运算法则来说,超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的就与现实的关系来说,超限数也是与有限数不同的小结参考文献江西师范大学科技学院届学士学位毕业论文前言有这样个故事,据说出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口。天夜里已经很晚了,个人走进家旅馆想要住店。店也不得不借助于递推原理,因为这是能使我们从有限向无限延伸的工具。”如果我们不能从有限走向无限,证明个定理对切自然数都成立,就得不到普遍定理。无穷远点我们知道景物的照片与实际景物在些方面有所不同例如,个圆可能会像个椭圆,正方形可能会像个梯形,对平行线好像在地平线上汇合在起。正是这个问题。在世纪产生了个数学分支射影几何学。引进无穷远点和无穷远直线,使数学中的些定理显得更简单对称和美观,尤以笛沙格定理及其逆定理有特色。总之,包含无限多个自然数的集合和无穷远元素,都是从有限个自然数,从有限个元素中来的,是从有限中外推得到的。由这种外推,我们不仅得到了新的外数学实体,而且得到数学上很重要的数学归纳法和对偶原理。在这里,数学家用巧妙的数学方法,把有限与无限联系在起有限如何进入到无限,具体地展现在人们面前。有限与无限的区别有限和无限是对立的有区别的，有限集和无限集的性质有质的不同。如个有限集和它的任何个真子集都无法建立对应关系。例如设,，,是的子集，不妨设中元素与中的元素对应，与对应与对应，则中元素在中没有元素与它对应。如果的元素继续减少，中将出现更多元素在中没有元素与之江西师范