体模型的建立过程。然后应用乘数法实现问题的求解。我们考虑这样个实际的例子这个投资组合中有中风险资产，也即证券市场不征收边际资本收入税风险资产的期望收益率分别为，，，风险资产和风险资产随机收益的协方差分别为，，，，，，，，，针对这个实际的例子，具体建模过程如下投资组合，，这四个变量为风险资产的比例投资组合的期望收益为，代入数值，得投资组合的方差为，代入数值，得针对这个实例，建立两个单目标模型收益定，风险最小化的优化问题模型如下，风险定，收益最大化的优化问题模型如下二模型的求解在这里，取期望收益，具体求解过程如下作函数，其中，，为乘数。，分别对，求偏导数，并令其为零，可得由于，可直接解上述方程组，得，，，或把上述方程组化为出版社，年。陈工孟郑子云，个人财务策划，北京大学出版社，年。张鸣，投资管理，东北财经大学出版社，年。徐华青肖武侠卢晓生，投资组合管理，复旦大学出版社，年。范良铸，中国证券市场的最优投资组合选择研究，武汉大学，年。徐大江，证券投资决策的多目标线性规划方法，系统工程理论与实践，年月，第期。万丽英，证券投资组合优化模型及其算法研究，大连理工大学，年。，其中，，，利用法则，求解得因此，最小风险，收益水平。五马柯维茨投资组合模型应用中的局限性尽管马柯维茨的均值方差模型简单易懂，理论成熟，可是由于在建立该模型时所依赖的些假设条件以及模型本身的特点使得该模型在应用过程中存在些问题。首先，该模型认为预期收益和风险的估计是对组证券实际收益和风险的正确度量。相关系数也是对未来关系的正确反映，这是有悖于实际情况的。因为历史的数字资料并不能准确反映未来的收益和风险的状况，种证券的各种变量也会随时间的推移不停地变化，这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的脱节。其次，该模型用证券未来预期收益率变动的方差或标准差来度量风险的大小。这样尽管风险的大小明确且易于度量，但是由于方差和标准差在计算中的双向性，就会将预期收益率有益于投资者的变动划入风险的范畴。这并不能真正反映投资者对其真正面临风险进行回避的需要。再次，马柯维茨的投资组合模型还假设所有投资者有个共同的单投资期，所有的证券组合有个特有的持有期，而这在现实条件下是不易达到的，这就使得不同期间的资产的收益和风险的比较缺乏个共同的衡量尺度。造成投资组合求解有效边界的困难。最后，该模型运用的条件要求非常高，为了在投资组合构建中利用马柯维茨的均值方差模型，投资者必须得到关于感兴趣的证券的收益率方差及两两间协方差的估计。这样，对于有只股票组成的投资组合，则不仅要有个收益率估计和个方差估计，还要有个协方差估计，总共个估计。这样，对于包含证券总数较大的投资组合的最优化分析，如果运用马柯维茨的均值方差模型，估计的任务是相当大的。这样，不仅需要精通理论的专业人员和现代化的计算设备，还要对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，这在现有条件下几乎是无法办到的，即使能够勉强做到，其效果也会大打折扣。因此，对于包含证券数目很多的投资组合，该模型是不可行的。参考文献哈姆勒威马歇尔萨纳特，证券投资组合与选择，中山大学出版社，年。阿伦阿贝克利福德杰曼伊安希金斯，财富策略新经济中的财富管理，江苏人民出版社，年。李向科戚发全，金融数学，中国人民大学之间的协方差为负值，则表明两种证券之间存在着种反向的变动关系，种证券的收益率上升可能伴随着另种证券收益率的下降。个相对较小或者为零的协方差则表明两种证券的收益率之间只有很小的互动关系或者没有人和互动关系即相互独立。证券之间的协方差越大，那么由它们构成的证券组合的风险也就越大。相关系数两种证券之间的收益互动性还可以用另外个统计量来表示，即两者之间的相关系数。假设和分别为证券和的收益标准差，是两种证券之间的协方差，则其相关系数的计算公式为相关系数的范围是，表示两种证券收益结果的变化方向完全不相同，称为完全负相关表示两种证券收益结果的变化方向完全相同，称为完全正相关表示两种证券收益结果的变动之间不存在任何关系相关系数在，区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相反，但不是百分之百地完全相反，只存在般性的负相关关系相关系数在，区间内，表示两种证券收益结果的变化方向相同，但不是百分之百地完全相同，只存在般性的正相关关系。必须注意，相关系数时，即证券和证券不相关只表明证券和证券不存在线性相关关系，但并不排除证券和证券有其它形式非线性的相依关系。般来讲，如果两种证券之间的相关系数，则可能会降低组合后的投资风险，而如果它们之间的相关系数，则可能会加大组合后的投资风险。证券组合的方差和标准差投资组合的预期风险为标准差就为图无差异曲线其中，当时，表示证券和证券收益的协方差，反映了两种证券的收益在个共同周期中变动的相关程度，表示组合中证券，所占的比例。例投资者投资于和三种股票，投资比例分别为和，收益标准差分别为和，之间的协方差分别为，，。该证券组合的方差计算如下因此，证券组合的标准差为。二证券投资的有效组合从上面可知，有了证券组合的收益和风险以及它们的衡量方法，那么什么样的证券组合才是最有效的组合呢换句话说，投资者面临众多可以选择的证券时，如何进行组合，改变不同证券的投资比例，才能实现既定期望收益率下风险最小或者既定风险下期望收益最大的目标马柯维茨采用期望收益率方差投资组合模型来解决证券的确定和选择问题。无差异曲线投资者在进行投资决策之前都会衡量自己对风险收益的偏好程度，这就需要利用无差异曲线了。条无差异曲线代表能提供给投资者相同效用量的系列风险和预期收益的组合。在同条无差异曲线上的组合对于投资者来说是无差异的。无差异曲线可以在预期收益率标准差平面上表示出来，其中横轴表示用标个投资组合具有种不同的风险证券，其中，第种证券的收益序列为，其预期收益率为，方差为，它在投资组合中的权重为。则该投资组合中的所有权重必须满足约束条件投资组合的期望收益和方差分别为图最优投资组合的确定在式中，当时，表示证券和的协方差，当时，为证券的方差。故可把式改为根据投资者均为理性经济人的假设，马柯维茨理论认为投资者在证券投资过程中总是力求在收益定的条件下，将风险降到最小或者在风险定的条件下，获得最大的收益。为此，他提出了以下两种单目标的投资组合模型Ⅰ给定组合收益Ⅱ给定组合风险模型Ⅰ的意义是在既定期望收益的情况下，使投资风险最小。模型Ⅱ的意义是在愿意承担风险的条件下，使期望收益最大。事实上，模型Ⅰ与模型Ⅱ是等价的，即无论是使用模型Ⅰ还是使用模型Ⅱ确定的最优证券组合投资策略的期望收益和风险定满足期望收益率风险平面上的同条曲线方程。获得了足够的数据，投资者就可以根据自己的投资风格和对风险的偏好程度，来选择模型Ⅰ或Ⅱ建立自己的投资组合，以达到满意的投资效果。二用方法解马柯维茨模型模型Ⅰ和Ⅱ求解时，可以采用乘数法，通过构造函数求解。现以模型Ⅰ为例利用乘数法，作函数，式中，，为乘数。函数对，的偏导数，并令其为零，可得上述方程组共有个未知数，和个方程，因此可以求出，的解，用通式表示如下其中，和为解方程组所求得的常数。利用乘数法，可以求出函数的稳定点。在许多情况下，由问题的实际意义，而稳定点又唯，因此，唯的稳定点就是极值点。对于给定的期望收益率，可以计算出的值，从而得到该期望收益率水平下方差最小的证券组合。改变的值，能够得到相应的期望收益率水平下方差最小的证券组合。这样，由根据不同的确定的证券组合形成的集合即为有效市场边界。准差所测度的风险，纵轴表示用预期收益率测度的收益见图。无差异曲线表现出以下几个特点每个投资者都有无数条无差异曲线，位于上方的无差异曲线所代表的效用水平比下方的无差异曲线所代表的效用水平高，这是因为在同风险水平下，上方的无差异曲线提供更高的预期收益，从另个角度来看，在同预期收益率水平下，上方的无差异曲线能提供更小的风险每条无差异曲线都是上升的，因为投资者是风险厌恶的，所以如果要让他承担更大的风险就必须支付更高的收益无差异曲线上升的速度是递增的，也就是说无差异曲线是下凸的，这说明随着风险的增