所以,,所以,焦距为字母系数参与引起分类讨论字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同情况影响了问题结果,从而引起分类讨论例函数的最大值是,最小值是,求,的值分析因为函数表达式中出现字母,所以分类讨论,而函数可变形为,即要对进行分类当时,,,当时,,,条件不唯引起分类讨论由于条件不唯,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论例求元二次方程在区间,内有两个不相等的实根的充分必要条件分析设二次函数,由于可正可负,因此它的图像开口可能向上,可能向下,需对分类讨论当时,函数图像是开口向上的拋物线如图,它与轴的两个交点在,与,之间的充要条件是当时,函数图像是开口向下的拋物线如图,它与轴的两个交点在,与,之间的充要条件是总而言之,分类讨论思想的本质是逻辑划分,可以用集合的观点依据同性互斥性层次性正确分类,并依据定步骤合理地进行分类讨论,分类讨论即是种思想,又是种策略,还是种方法,它广泛应用于中学数学的解题中参考文献陈光立主编最新高中数学应用开放题大全,第版,吉林教育出版社,年月杭州大学数学系中学数学习题,第版,内蒙古人民出版社,年吕凤祥主编中学数学解题方法,哈尔滨工业大学出版社,年曹军主着数学开放题及其教学研究,南京师范大学出版社,年马明主编高中数学解题思路训练,中国青年出版社,年月刘文武中学数学中重要的数学思想分类讨论思想,,年月日下当时,原不等式化为当≠时,原不等式化为若,则化为或若,则化为时,时,解是空集时,由上看出,分类讨论三原则,同性互斥性层次性中,同性要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次性是在解决些问题时,按同标准次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原则,层次性是在同性互斥性的基础上的分类原则三分类讨论的步骤同性互斥性层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论般分为四步第，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围第二，正确选择分类标准,合理分类第三，逐类逐段分类讨论第四，归纳并做出结论下面从个具体的例子出发来分析分类讨论的四个步骤例设,问方程表示什么曲线分析第步,确定讨论对象及其范围因为方程系数中含有参数,所以将视为研究对象,的取值范围是全体实数第二步,选择正确分类标准,合理分类当≠且≠时,方程可变形为,与的正负会引起曲线有不同的类型,故和是个分界点,而与但≠所表示的曲线也是不样的,因此,也是个分界点,所以对进行正确的分类应为∞∞第三步,逐类逐段分类讨论时,方程变为,即表示直线时,方程变为,即表示直线≠且≠时,原方程化为当时表示双曲线当时表示椭圆类讨论例解关于的不等式㏒㏒其中常数且≠分析由于不等式两边都有相同的因式,我们在不等式两边同除以这个式子,而当为奇数时,其为正,当为偶数时其为负,从而影响了不等式中不等号的方向,因此须对进行分类讨论当为奇数时,因为,所以㏒㏒又因为且≠,所以当时,当时,当为偶数时,因为,所以㏒㏒又因为且≠,所以当时,当时,图形位置不确定如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解例已知圆,动圆与圆相切并且轴相切,求圆的圆心的轨迹方程,并指明表示何种曲线分析由于动圆与定圆相切,因此它们之间位置不确定可能外切,可能内切,引起分类讨论如图,当圆与圆外切且切于点时,作⊥轴,因为圆与轴相切,令则所以如图,当圆与圆内切且切于点时,作⊥轴所以所以综合得,点的轨迹为拋物线及图形的形状不同当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论例求圆锥曲线的焦距其中≠,当时表示圆当时表示椭圆当时表示双曲线第四步,归纳并做出结论当或时,方程表示双曲线当或,方程表示椭圆当或时,方程表示直线当时,方程表示圆通过上例分析,我们可以看出,分类讨论第要明确为什么要分类讨论,第二要形成分类讨论的意识,第二要学会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的正确性四引起分类讨论的七种环境并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及到以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化概念分段定义例求函数的值域分析这个问题出现绝对值,而绝对值是分段定义的概念,因此需要根据实数绝对值定义分类讨论,而此题涉及到三角函数值的正负,即将分为四个象限当在第象限时当在第二象限时当在第三象限时当在第四象限时所以值域是像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率复数的辐角主值等,当这些概念出现时,般要进行分类讨论公式分段表达在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论,常见的分段表达的公式有,当且仅当时等号成立,当且仅当时等号成立等比数列前项和≠实系数元二次方程≠的求根公式元二次不等式的解当时,当时,且当时,,三角函数中的半角公式等实施些运算引起分类讨论在解决数学问题时,不论是化简求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分，都是的子集，且∪,满足同性原则,作如下分类讨论当,即,直线的斜率不存在,倾斜角当≠,即≠,直线的斜率,并且由,,得出≧∞,∞≧,的取值范围为直线倾斜角取值范围为,例已知集合,,,,,若,求的取值范围分析由于,,且,则集合可能是空集单元素集合和两个元素集合,而集合的元素是个元二次方程的解集,即元二次方程可能是无解两个相等的解或两个不相等的实根,因此要分三类讨论,求出的取值范围,此题研究对象是元二次方程的根的判别式,分成大于零,小于零和等于零这三种情况,这种分类符合同性原则,没有遗漏任情况当,即时,因为,满足,所以,当,即时,由得当,即或时,综上可得,当,时,互斥性原则由同性原则可以看出,在分类讨论时,同性仅仅考虑了不遗漏,但是对于全集来说在满足∪∪∪的前提下,并不能保证∩,,,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了这问题,即对于研究对象,是子集,且作为分类的标准,若∩,,,则称这种分类符合互斥性原则,互斥性原则的重要性在下面例子可以很明显地显露出来例车间有名工人,其中人仅会车工,人仅会钳工,另外三人车工钳工都会,现需选出人完成件工作需要车工钳工各人,问有多少种选派方案分析如果先考虑钳工,因为人会钳工,故有种选法,但这时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的人中有多少人会车工,因此在选车工时,就无法确定是从人中选,还是从人人人中选,同样,如果先考虑车工也会遇到同样的问题,因此需对全能工人进行分类,因为有人是全能的,故有四种不同的情况可能出现,具体如下选出的人中不含全能工人选出的人中含名全能工人选出的人中含二名全能工人选出的人中含三名全能工人故有注意选出的全能工人,既会车工,又会钳工,这两种情况也需分开来进行讨论,这种分类方法避免了重复出现的机会,不遗漏任情况,般地,互斥性原则在排列组合中应用十分广泛层次性原则如果在解决问题时,需要分类讨论,当确定了标准进行分类讨论后,问题并没有得到解决,还需要继续进行分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位例解关于的不等式分析这是个含参数的不等式,它不定是二次不等式,故首先应对二次项系数进行分类,和≠当≠时,不等式是元二次不等式,不等式的解集可能是两根之外,也可能处于两根之间,故又须分和两种,确定了这层后,又会出现与的大小问题,又需将与之间进行分类,分三层讨论,具体过程如浅谈分类讨论思想及其应用摘要分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的般原则方法技巧及应用环境关键词分类讨论分类讨论思想分类讨论原则分类讨论步骤分类讨论思想的概念由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是种逻辑划分的思想从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使大问题转化为小问题,便于求解通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰完整严密的解答,做到正确的分类,必须遵循定的原则,以保证分类科学统,不重复不遗漏,并力求最简二分类讨论的原则从种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调缓和矛盾,达到运用知识合理解决问题的思想方法那如何进行分类讨论呢分类讨论必须要遵循定的原则,才能使