1、“.....矩阵对角化在常微分中的应用由于微分方程组中每方程都包含若干个变量，直接求解不方便如果利用矩阵可对角化的理论，问题的求解就容易得多。例解微分方程组解令，，则微分方程组可表示为，可求得的特征值为，对应重特征值有个线性无关的特征向量，又对应的特征向量为故可对角化。令则∧。令，其中，则易验证。带入，得，即写成分量形式为解得为任意实数故由，得为任意实数。此外，根据矩阵是的基解矩阵，且，利用对角矩阵可以较容易的解决些求基解矩阵的问题。例试求的基解矩阵。解因为，而且后面的两个矩阵是可交换的......”。

2、“.....所以级数只有两项。因此，基解矩阵就是。例如果，试求。解这里，是的重特征值，直接计算可得。因此，利用公式可得，这样来对角矩阵在实际生活中的应用对角矩阵在实际生活中有着广泛的应用，这里只是略微谈下。例实验性生产线每年月,进行熟练工与非熟练工的统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第年月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和，记成向量......”。

3、“.....是的两个线性无关的特征向量，并写出相应的特征值当时，求。解由题设可列出与的关系式化简得，于是。令，则由≠知,线性无关。因为，故为的特征向量，且相应的特征值为又因为，故为的特征向量，且相应的特征值为。由，有。于是，又，故因此。参考文献北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数北京高等教育出版社......”。

4、“.....钱吉林高等代数题解精粹北京中央民族大学出版社，徐仲，陆全高等代数考研教案西安西北工业大学出版社，此即故可对角化。矩阵对角化在数学中的应用用矩阵对角化的方法证明高代里的些问题第种情况利用对于任意个级实对称矩阵，都存在个级正交矩阵，使成对角形。再结合正定矩阵和个对角线上元素全都大于零的对角矩阵合同可以证明些有关正定矩阵的问题。例已知,均为阶实对称正定阵，且有，试证也是正定矩阵。证∈，是阶实对称阵。可以证明存在同个实可逆阵，使，。事实上，存在正交阵，使，其中是单位阵,互不相同。有得于是,其中与是同阶方阵，由，可得从而存在正交阵，使,都是对角阵，再令那么是正交阵，且令，则为对角阵......”。

5、“.....从而得证式成立。由于,正定，所以,进而是正定阵。例设,都是阶正定矩阵，证明如果正定，则也是正定矩阵。证有为正定矩阵，则有可逆阵，使，显然为对称阵，则存在正交阵使，其中，为的特征值。令，则,由正定可逆知为正定矩阵，所以，全大于零。由且正定知，全小于。由，，所以，故。由于,故合同于个对角线元素都大于零的对角矩阵，即也是正定矩阵。例设为级实对称矩阵，则存在实数，使得为正定矩阵，这里为单位矩阵。设,均为级正定矩阵,为的个特征值,为的个特征值。证明若对于任意的均有,则为正定矩阵。证因为为实对称矩阵，所以也为实对称矩阵，为任意值。令的特征值为，只需实数使......”。

6、“.....,复数域上的个三维空间，是在基下方阵是的个线性变换，则的属于特征值的特征向量分别有。由基到基的过渡矩阵为由此可得，。故经计算得当为偶数时，当为奇数时，。例设，求为正整数。解计算可得，所以的特征值为，当时，得特征向量为,。当时，得特征向量为,。令，则。由得可得。矩阵对角化在空间解析几何中的应用由于空间解析几何中的有些二次曲面的方程与二次型的标准型有关，而二次型的标准型可由二次型经正交变换得到，故矩阵对角化在空间解析几何中有着广泛的应用......”。

7、“.....将二次型化为标准型，并指出表示何种二次曲面。解二次型的矩阵为。可求得于是的特征值为，可求得对应的特征向量为,，将其正交化再单位化得,又对应的特征向量为，故。从而正交变换化二次型为。可知表示旋转单叶双曲面。例已知二次曲面，可已经正交变换化为椭圆柱方程求，的值和正交矩阵。解,且对应的矩阵为，则。再设,,,对应的矩阵为，则。因为与相似，所以与有相同的特征值，，将，，分别代入可解的所以,全部大于零，故存在实数，使得为正定矩阵。令则由于对于任意的均有......”。

8、“.....均为级正定矩阵，再由于的证明过称知，。还有存在正交阵,使,，从而，。由于,,，故，全为正定矩阵。由此对于任意的≠有,且故为正定矩阵。由于，故存在个特征值，不妨设为，故存在正交阵使故。由为正定矩阵知即。故与个对角线元素都大于零的对角矩阵合同，所以为正定矩阵。第二种情况利用对于任意个级实对称矩阵，都存在个级正交矩阵，使成对角形。证明些矩阵的秩相等的问题。例设，为数域上的两个不同的阶对称矩阵，且，这里代表矩阵的秩。证明存在个阶对称矩阵,，使得证明由于,为对称矩阵，故,,从而为对称矩阵。由，故存在正交阵使，故，其中为的个非零特征值......”。

9、“.....故且,。由为对称矩阵，为对称矩阵，从而为对称矩阵，进而全为对称矩阵且简化矩阵乘方的计算如果可对角化，即存在可逆阵使，两边做次方，因而，得到计算矩阵乘方的公式。例设，求。解由于的特征多项式为∣∣,故的特征值为。设等阵,使得≠是单位阵。证由于可对角化，因此存在可逆阵，使，其中均为阶单位阵，且。令,则，此即为幂等阵。且≠。。。证明个矩阵可对角化矩阵相似对角化的定义所谓矩阵相似对角化是指矩阵和对角形矩阵相似。定理阶矩阵与对角矩阵相似即可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量......”。