交换次序的条件要求较为宽松,也更加容易验证控制收敛定理的创立凸显出积分理论的极大优越性例求分析因为不致收敛,所以在积分不能计算而在积分中,由于,又因为在,上可积,满足控制收敛定理,故可以交换积分与极限的次序,从而计算出结果解,又在,上可积,由控制收敛定理得例,分析在积分理论中不致收敛,所以在其中无法计算而在积分中,满足控制收敛定理,所以这道题目可以交换积分与极限的次序,从而计算出结果解因为,所以,根据控制收敛定理有又因为所以,四关于积分与积分的实例从前面的论述中我们知道,引入积分是为了克服积分的不足,从而扩大可积函数类显见,积分与积分是不同的,两者在计算上有着很重要的联系,但又不是蕴含关系我们知道对于定义在,上的函数,如果它是可积的,则它必是可积的这样我们在计算积分时,可以考虑其是否可积如果是,可以化成积分来求解对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分,积分是作为广义积分来定义的广义的积分并不定可积,所以积分虽然是积分的推广,却不是广义积分的推广在计算积分问题时要正确区分相应的积分是正常积分还是广义积分,从而选择适当的方法去计算例函数理点在在无理点,有，在,上是否可积是否可积计算函数在,上的积分值解在,上,除了点外,都间断,因而在,上不是可积的但是在,上有界可测,所以在,上可积因为,,所以又在,上可积,所以例在线段,上作测度为的无处稠密的完备集此集的邻接区间按它们之长度减小的顺序进行编号然后在,上给出函数,上为线性的及在闭区间的中点在区间上在此函数可积还是可积求在,上的积分值下面先介绍下定理设,均为可测集上的非负可测函数,并且在上有对所有的,收敛于,则解因为在正测度上间断,所以它不是可积,但是它是可积的且有又在,上可积,故,由题设知是邻接区间长度,等于的测度,所以例计算定义在,上的函数为无理数时当时为互质的整数当的积分值解令，中有理数为,中无理数为,,则有,例证明,上广义可积函数可积的充要条件广义可积且此时两个积分的值相等证设在,上广义可积,且在点无界必要性设可积,则当时,在,上有界可积,也在,上有界可积,从而在,上可积,有由的任意性可知,在,上广义可积充分性设也是广义可积,则因为广义可积,且由所设有选点列,使,且作函数,因为显然在,上可积,且由积分的区间可加性质,在,上可积,从而在,上可积,且有因为是,上的单调增加函数列,故由定理,在,上可积由于对任何故取的控制函数,则依据控制收敛定理,有类似可证有无穷极限的广义可积函数情形只需将所取的,使即可五总结通过对积分和积分的关联性的研究,我们知道积分在应用领域取得了巨大的成功,但是积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制由于可积函数主要是连续函数或不连续点不太多的函数,使得积分在许多问题的应用中遇到了瓶颈而积分是对积分的拓展与提升,在数学分析中有举足轻重的地位积分可积函数类广泛,并且还具备良好的性质,理论也相当完备第，扩大了微积分基本定理的使用范围,提出当有界时,证明微积分定理相对容易但是在有限值且无界时,只要是可积的,微积分基本定理依然成立在积分的意义下,任何绝对连续函数都可积的所以在微积分基本定理中只需满足是,上的绝对连续函数,则第二，积分将积分的几何意义进步推广,将积分中曲边梯形面积推广至在上的下方图形集的测度问题上第三，遇到有关重积分的计算时,重积分化为累次积分的条件发生减弱在积分理论下,只需可测且有个累次积分存在,就可以将重积分化为累次积分然而在积分理中,重积分与两个累次积分都存在时才相等第四，在二重积分与累次积分的关系问题上,把积分推广于无界函数的情形时,用积分理论无法应对而重积分理论,扩大了用累次积分计算二重积分函数范围第五，积分理论在数学分析中十分有用,特别是是在三角级数问题中,得到了广泛的应用参考文献华东师大数学系数学分析北京高等教育出版社,中科大高数教研室高等数学导论北京中国科学技术大学出版社,张筑生数学分析新讲北京北京大学出版社,匡继昌实分析引论湖南湖南教育出版社,程其襄实变函数与泛函分析基础北京高等教育出版社,周民强实变函数论北京北京大学出版社,赵焕光实变函数四川四川大学出版社,周民强数学分析上海上海科学技术出版社,王军涛与积分比较河南科技学院学报,,周成林勒贝格积分与黎曼积分的区别于联系新乡学报,,所给定的区间致收敛也就是说,函数致收敛只是极限与积分运算交换次序的充分而非必要条件例如,在处不连续,但是该函数是非致收敛的,而且积分对于定义在完全不同的集合上分布奇特的有趣函数或般集合上的函数,不仅没有简单的解决方法,而且甚至不可积积分过分依赖于区间例如,对于定义在,之间的有理数上的函数,就没有办法讨论它的可积性在可积函数集合中,能构造出距离由此可见,此空间并不完备,这是积分的又局限性二积分引入积分的目的是为了克服积分的不足,从而扩大可积函数类积分是在测度理论的基础上建立起来的,测度理论可以统处理函数有界与无界的情形,而且函数可以定义在更为般的点集上,而不仅仅只是闭区间,上积分还提供了比积分更加广泛且有效的收敛定理因此积分的应用范围比较广泛二十世纪初,对给定的函数按函数值的区域进行分割,作和,求极限产生了积分对值域进行分割,相应得到对定义域的分割,使得在每块上的振幅都很小,即按函数值的大小对定义域的点进行归类具体定义如下非负简单函数的积分设是可测集上的非负简单函数,则有的划分,及非负实数组使,此时我们定义在上的积分为,并且当时,称在上可积二非负可测函数的积分设是可测集上的非负可测函数,是的非负简单函数的上升列,并且此时在上的积分定义为若积分值有限,则称在上可积三般可测函数的积分对每个,令则与分别称为函数的正部与负部若与的积分不同时为,则在上的积分定义为此外当有限时,称在上可积三二者区别与联系积分与积分的定义的比较极限式定义的比较积分的极限式定义设是定义在闭区间,上的有界函数,对区间,的任意个分割,,记,,,任取,,作和,并求极限,若该极限存在则称在,上可积并把该极限称为在,的积分,记作积分的极限式定义设是定义在可测集上的有界可测函数,且,存在,使得,若对,的任分割,记,,,,,对任意,,作和,并求极限,若该极限存在则称在上可积并把该极限称为在的积分,记作对两者的比较从上面两个定义我们可以看出,两个积分的相同点是思路相似,具体地说,都是要作分割,求和,取极限两者的区别在于,分割的对象不同,即积分是对定义域作分割,而积分是对值域进行分割确界式定义的比较积分的确界式定义设是定义在闭区间,上的有界函数,对区间,的任意个分割,,记为函数在,上的上确界,为函数在,上的下确界,相对于分割作和,称为关于分割的大和数,,称为关于分割的小和数记,为在闭区间,上的上积分,同时记,为在闭区间,上的下积分若两个积分的值相等,则称在,上可积,并称这个共同值为在,上可积,记作积分的确界式定义设是个非空可测集,其中为互不相交的可测集,性质绝对值不等式若为,上的可积函数,则在,也可积,并且证为,上的可积函数,故任给,存在分割,使得,根据绝对值不等式可得,所以说在,可积再由不等式,易证得注这个命题的逆命题般不成立,例如为无理数为有理数在,上不可积,但,它在,上可积例求,其中,解对于分段的定积分,通常利用积分区间的可加性来计算,即积分的主要性质性质线性性质若,在可测集上可积,则可积,并且性质积分区域的可加性设互不相交,在每个上有积分时,在每个上有积分,且性质单调性若,在可测集上可积,且,则性质绝对值不等式性若在可测集上可积,则也是上的可积函数,并且性质绝对可积性若在可测集上可积也是上的可积函数对两者的比较综上所述,积分与积分在线性性积分区间可加性绝对值不等式性和绝对可积性方面的基本形式完全致两者的不同点在于其,积分的积分值可以有限也可以无限,而积分中的积分值只能是有限值其二,积分与积分在绝对可积