证明皆是可测集数学与信息科学学院届学士学位毕业论文证明由推论存在可测集,使得,,且,因为,，所以,皆可测,且,所以,,,同理由例，，因为，所以取为基本集，,所以,所以可测同理也可测作为可测集与集之间关系的应用，再给出乘积空间测度的计算公式定理设分别为和中的可测集，记，则为中的可测集,且证明证明分两步先证当,均有界时，结论成立当,都是区间时，由区间的体积公式知结论成立当,都是开集时，由开集的结构知，，其中，分别为和中两两不交的区间于是,，其中为中两两不交的区间所以是可测集，且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文当,都是集时，则，，其中为有界开集，且单调递减也为有界开集，且单调递减于是为可测集，其中也单调递减，所以当,至少有个为零测集时，不妨设，由定理存在集,使，且，，于是由得而，所以当,均有界可测集时，由定理存在集,使，且，，，，记，，则，，，从而，再由得为可测集,且二再证当,至少有个无界时，结论成立由于,分别都可表示成列互不相交的有界可测集的并集，即，，其中，都是有界可测集，而,，其中互不相交，故由知为可测集，且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文参考文献李国祯实分析与泛函分析引论北京科学出版社，郑维行，王声望实变函数与泛函分析概要高等教育出版社，郭大钧实变函数论与泛函分析山东大学出版社，曹广福实变函数论与泛函分析上册第二版北京高等教育出版社,姚奎,梁永顺实变函数论与泛函分析学习指导合肥中国科学技术大学出版社,孙华清,孙昊实变函数内容方法与技巧武汉华中科技大学出版社,郭懋正实变函数论与泛函分析北京北京大学出版社,陈建功实函数论北京科学出版社Ⅰ,夏道行实变函数论与泛函分析概要上海科学技术出版社，周明强实变函数论北京北京大学出版社,致谢在写这篇论文的过程中，感谢涂金老师的悉心指导，让我能顺利完成写作,是可测的定理证毕从式可以推出定理设是互不相交的可测集序列,则对任意,有例设是互不相交的可测集，,，证明证明由定理,可测,对任意,有，取,所以，由定理知数学与信息科学学院届学士学位毕业论文证毕单调的可测集序列定理设是可测集序列,且,则也是可测的,且证明因为，故可测若存在，使，则式显然成立现设,由的单调性及可测性，与均可测且不相交,所以有,由于，所以,令,则再应用测度的可数可加性，有例设是列可测集，证明证明先将求集合序列下限集的运算转化为求单调集列极限的运算,然后利用测度的性质进行必要的讨论数学与信息科学学院届学士学位毕业论文由于,记,这样的是单调增加的,且,所以,，对后式两边取下限,注意到左边实际上存在极限,故有综上所述得定理设是可测集序列,且,则也是可测的又设,则证明由的单调性知，且是递减数列，故存在因为,所以是递增可测集序列由定理,有，由于,故上式可以写为即得欲证例设是列可测集,是自然数,,证明证明由于,记,这样的是单调减少集列，且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文由题设知,时，,所以证毕注从以上各定理可知,点集的可测性关于可数并可数交差余和极限运算是封闭的,有了这些性质,我们可以从已知的可测集去发现和构造更多的可测集,由些可测集去研究另外的可测集可测集类及可测集的构成可测集类在上节中,给出了中可测集的定义，并且知道了可测集的些性质，但是除了零测集外，我们还不知道哪些具体也是可测的由集的定义知任何集也是可测的注从定理可知,许多常见的集合都是可测的,比可求面积的中或可求体积的中的范围扩充了许多但是上述的定理并不意味着每个可测集都是开集闭集或集事实上,存在非集的可测集可测集与集的关系定理设则存在,型集，使，且证明由外测度的定义知，对任意自然数，存在列开区间，使,且，记显然为型集,且，所以，让得,证毕数学与信息科学学院届学士学位毕业论文定理设，则下列关系等价为可测集对任意存在开集，使且存在型集，使，且，证明当,则由外测集的定义知对,存在列开区间,使且,，记，显然为开集，，且，所以,而,从而，当时，必为无界集，但它总可表示成可数个互不相交的有界可测集的并即对每个应用上面结果,存在开集，使记且,显然为开集,,且，从而取,,由知,存在开集使且记，显然,为型集,且数学与信息科学学院届学士学位毕业论文，所以，让得,从而由知存在型集，使,且,，而,故是可测集注此定理表明任意可测集总可表示成个与个零测集的差集定理设,则下列关系等价为可测集对任意,存在闭集,使,且存在型集，使，且，证明可测可测定理对任意存在开集，使且现令,则是闭集且因为,所以可测可测定理存在型集，使，且，记，则为型集，，，所以，定理证毕数学与信息科学学院届学士学位毕业论文例证明中可测集经平移后仍为可测集证明设是可测集，是中的固定点记下证可测因为可测,由定理,存在集,且记,则,由集的定义可设,其中为开集于是其中,，显然是开集，是零测集由外测度的平移不变性，即也是个集与零测集的差，所以可测注以上两个定理表明，只要有了全部的型或型集它们都是集和的集合是可测的本节要研究这个问题由于我们是将测度作为长度面积体积该概念的扩充,因此凡可求长度面积体积的集合都应该是可测的首先从区间开始引理设是中的开区间,则定理中任何开区间都是可测的,且证明由上面的引理,只要证明可测设,对任意，要证明令,则当充分大,从而,，由外测度的距离可加性,有数学与信息科学学院届学士学位毕业论文，如果能证明，则式就可以通过前式取极限得到,因为，现来证令,,它将在附近的点盖住了其体积,其中是与无关的正数对的其余部分,同样可分别作出与之类似的开区间盖住最终,可用个体积不大于的开区间覆盖于是,所以令,则有于是式成立,故可测注从定理可以看出,中任何区间与相应的开区间只差个零测集因此可以由数学与信息科学学院届学士学位毕业论文此推出中任何区间都是可测的,且体积就是它的测度下面研究在中有哪些集合是可测的用分割函数值域的方法作积分和时,出现了形如的点集我们知道,连续函数是可积的，在新的积分中也应该可积因此,当连续时相应的应该可测为两个开集之差因此开集应该是可测的下面证明,中的开集是可测集首先,给出中开集的构造定理引理中非空开集都可以表示成可数多个互不相交的左开右闭区间的并,即,其中,且证明对每个正整数,都可分解为可数多个形如，，,为整数的互不相交的左开右闭的区间设时上述这些区间中完全包含在内的是有限个或可数个对于,用表示上述那些区间中完全被包含,但不被任何包含的区间有限个或可数个这样可以得到可数多个左开右闭的区间显然它们是互不相交的现对任意,因为是开集,故存在,使得以为中心的为半径的邻域,于是,当充分大时，式中那些区间中包含的那个定完全被包含在内，从而,，即数学与信息科学学院届学士学位毕业论文,定义如果点集是可数多个开集的交,则称为集如果是可数多个闭的并,则称为集由开集出发,通过取余集,作可数交可数并而成的集合类称为集类，其中的元素称为集定理中的开集闭集以及任何集都是可测的证明因为中左开右闭区间是可测的,而开集又可以表为可数个左开右闭区间的并,从而开集是可测的任何闭集都是开集的余集,故闭续性要求太强，以致于著名的函数这样种非常简单的函数都不可积另方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，般要求函数列或函数