这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取因而求得利用两个准则求极限函数极限的迫敛性夹逼法则若正整数，当时，有且则有利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。例求的极限解因为单调递减，所以存在最大项和最小项则又因为单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例证明下列数列的极限存在，并求极限。证明从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为，所以得因为前面证明是单调增加的。两端除以得因为则，从而即是有界的。根据定理有极限，而且极限唯。令则则因为解方程得所以利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限例求,解设,则由比值判别法知收敛，由必要条件知,利用单侧极限求极限形如求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋于的极限求含取整函数的函数极限分段函数在分段点处的极限含偶次方根的函数以及或的函数，趋向无穷的极限这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例求在的左右极限解。应用洛必达法则，要分别的求分子分母的导数，而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起。利用定积分求极限设函数在区间，上连续，将区间，分成个子区间在每个子区，任取点，，作和式见右下图，当时，属于最大的区间长度该和式无限接近于个常数，这个常数叫做函数在区间，的定积分。要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有定积分的概念及性质。定积分的换元法和分部积分法，变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式。要求般理解与掌握的内容有广义积分的概念与计算。例求解设，则在，内连续，取所以，所以原式难点定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先，利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量，这方法在求极限时常常用到再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中，如果此函数是个无穷小量与所有其他量相乘或相除时，这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替，从而使计算简化。例求的值解因为是无穷小量，而是有界变量，所以还是无穷小量，即利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例已知，称与是时的等价无穷小量，记作定理设函数在内有定义，且有若则若则证明可类似证明，在此就不在详细证明了,由该定理就可利用等价无穷小量代换来求些函数的极限例求的极限解由而，，，故有注由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握些常用的等价无穷小量，如由于，故有，又由于故有，。另注在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，，，而推出的则得到的结果是的。小结在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换，无穷小等价替换可以很好的简化解题。利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括如函数在点连续，则及若且在点连续，则例求的极限解由于及函数在试证证明令，则时于是易知当时第二三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因当时，故有界，即，使得。故利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的些性质。例设，对，定义。证明且时，若为任意的正数。置于的递推公式中，给出，假设，则当时，解对任意的，，而且，因为推得，因此，序列是单调递增且有界，它的极限存在，设为，从递推公式中得到解得，即。因为且对任意的，，可以在上作归纳证明，对任意的，。由知，所以序列是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式可求的其极限为。利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则黎曼引理是针对些特殊的数列而言的。还有些比较常用的方法，在本文中都列举了。定义法利用数列极限的定义求出数列的极限设是个数列，是实数，如果对任意给定的，总存在个正整数，当时，都有，我们就称是数列的极限记为例按定义证明,解令，则让即可，存在，当时，不等式,成立，所以,利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则，其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数，其次在做除法运算时，要求必先使分母的极限不为，因此，为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数，需以原分子原分母中随或增大最快的项除分子分母，使恒等变形后的分子分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数，值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前，先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例求，其中，解分子分母均为无穷多项的和，应分别求和，再用四则运算法则求极限，，原式利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小，使放大与缩小所得的新变量易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里，可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例求的极限。解对任意正整数，显然有，而，，由夹逼性定理得利用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。般常用的方法是换元法和配指数法。例求极限说明第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤先凑出，再凑，最后凑指数部分。解利迫敛性来求极限设，且在，内有，则例求的极限解且由迫敛性知做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同个极限。用洛必达法则求极限洛必达法则为假设当自变量趋近于定值或无穷大时，函数和满足和的极限都是或都是无穷大和都可导，且的导数不为存在或是无穷大，则极限也定存在，且等于，即。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例求解是待定型注运用洛比达法则应注意以下几点要注意条件，也即是说，在没有化为，时不可求导函数极限的定义性质及作用在极限的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用个数除以的麻烦，而引入了个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。限的概念是高等数学