函数复积分复变函数作为数学的基础课,它研究的主要对象是解析函数,解析函数在理论和实践中有着广泛的应用复变函数的积分理论是研究解析函数的个重要工具,而复积分的计算是积分理论的基本问题之,也是较难解决的问题本文将从不同的角度对复积分的计算方法作探讨复变函数的积分简称复积分,对于研究解析函数的性质,起着重要作用复积分的计算可利用复积分的定义定义设有向曲线,以为起点,,沿有定义,在上从到的方向取分点把曲线分成个弧段图图在从到的每个弧段上任取点,作和数其中且设若为复常数,则称沿从到可积,称为沿的积分,记为称为积分路径,同时表示沿的负方向的积分例命表示连接及的任曲线,试证证明因于是故即因,,令得令得有定义可得的极限存在且应与及的极限相等,从而应与的极限相等于是,所以特别的,当为闭曲线时,则上述两个积分值为变量代换可转化为其实部虚部两个元实函数的曲线积分根据曲线积分的计算公式,当把曲线积分的路径表示为参数式时,则复积分可转化为下面单变量的定积分定理设光滑曲线,在,上连续,且,又设沿连续,则若曲线是直线段或抛物线弧段,先求出的参数方程为过,两点的直线段,,,为始点,为终点然后再按上述方法计算例计算积分,路径为直线段解设,,原式例计算积分,其中的起点为,终点为,积分路径为沿实轴由到及由到的直线段所组成的折线段解将直线段写成参数式则由到的直线段复数形式的参数方程为,因而应用复积分计算公式有将抛物线写成参数方程,则从到的抛物线弧段复数形式的参数方程为,所以,其中的参数方程为的参数方程为,此例说明,具有相同起点和终点,同个复变函数的积分,其值随着路径的不同可能不同若曲线为圆周或圆周的部分,例如以为心为半径的圆设,即,,,曲线的正方向为逆时针例计算积分,为从到的下半单位圆周解设,,,原式例的整数其中是以为心,为半径的圆周证明因为的参数方程为故由公式得因此,时,,当为整数且时,注意此积分值与半径无关例计算积分,其中是圆环上半部分的边界,其方向如图分析只须写出积分路径各部分的参数方程,并利用参数方程法即可计算解设,为两个上半圆周,则路线各部分的参数方程为,,,由积分性质得注上述方法只适用于积分曲线是特殊类型的曲线莱布尼兹公式若在单连通区域内解析,是内的光滑曲线,则积分只与的起点和终点有关,固定起点,则是在内的个单值原函数,且于是所以我们要求求出的原函数例求积分之值其中为摆线,从到的段分析若用计算复积分的参数方程法,则应写出的参数方程,确定起点参数,终点参数,然后代入公式计算,计算过程繁杂注意到被积函数在复平面上处处解析,积分与路径无关,因此可先求其不定积分再用复积分的牛顿莱布尼兹公式做简单计算解例计算解因为在复平面上处处解析,所以积分与路径无关原式在运用牛顿莱布尼茨公式计算积分时,定积分的换元积分法和分部积分法仍成立例解因为在复平面内解析,用换元积分法有例计算积分解由于在复平面内处处解析,用分部积分法得注若积分与路径无关的条件下可直接按实积分中的牛顿莱布尼茨公式计算应用柯西积分定理和牛顿莱布尼茨公式的前提都是满足条件区域是单连通域是解区域内的解析函数,柯西积分定理设函数在复平面上的单连通区域内解析,为内任条周线,则,就是说平面上任何闭曲线积分值都为例计算,为单位圆周解是的解析区域内的闭曲线,有柯西积分定理有注此题可用参数方法,但计算要复杂得多,而用柯西积分定理很简单例计算的值,解的奇点为,都在的外部在上解析,由柯西积分定理可得柯西积分定理可推广到复周线的情形,这也是计算复积分的个有利工具,即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形复合闭路定理设区域是复连通区域,为的外边界为的内边界,它们都是分段光滑的,其中都在的内部,且中的每个都在其余的外部,若函数在内解析,在上连续,则沿外边界逆时针方向积分等于沿内边界逆时针方向积分之和,例计算,其中是围绕的任简单闭曲线解函数在复平面内除点外的区域内处处解析以奇点为中心,适当小的为半径作圆周如图,使在的内部有式得,的整数例计算的值,为包含圆周的任何正向简单闭曲线解,分别以,为心做两完全含于内且互不相交的圆周则有原式例计算下列积分分析被积函数在复平面上共有两个奇点和,将分为两项,即解因的奇点在的外部,故可由重要积分及积分定理得被积函数的两个奇点和均在的内部,故可在内作两个充分小圆及,将两奇点挖去,与原曲线构成复围线,应用复合闭路定理如图蜒蜒蜒对于积分,由于被积函数在的内部只有个奇点,而另个奇点则在的外部,故可将适当变形后应用积分公式解解注利用柯西积分定理也有定的局限性,主要体现在被积函数上,只有些特殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便柯西积分公式设区域的边界是周线复周线,函数在内解析,在内连续,则柯西积分公式较柯西积分定理的高级之处在于它可以解决积分曲线内有被积函数的奇点且被积函数不是特殊函数的积分问题例计算积分,解在全平面解析,在内,所以,由柯西积分公式原式例计算积分解因为所以例计算,其中为圆周解因被积函数的两个奇点是分别以这两点为心作两个完全含于而且互不相交的圆周,原式此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合,比单独应用柯西积分定理容易方便得多柯西积分公式解决的是形如,的积分,那形如,的积分怎样计算呢可根据柯西高阶求导公式来解决高阶导数公式若函数在区域内解析,在为的边界上连续,则在内任点处,函数具有各阶导数,且,这个公式的应用往往不在于用求积分代替求导数,而是用求导数的方法来计算积分,即,例计算积分解由高阶导数公式例求积分之值分析设,,在内部只有个奇点,而在上解析,故可用高阶求导公式解,若被积函数在周线或复周线所范围的区域内有有限个奇点,但不易直接由柯西积分公式或高阶导数公式解出时,这时,我们可采用挖奇点法解题挖奇点法是根据沿外边界积分等于沿内边界积分之和,把积分路径包含区域内的奇点用互不相交且互不包含的几个闭曲线将每个奇点含于条闭曲线中并且这些闭曲线都含于中,在利用柯西积分公式或高阶导数公式计算复积分例计算,为解因被积函数的两个奇点是分别以这两点为心作两个完全含于而且互不相交的圆周,原式例计算积分解被积函数在区域内有,两个奇点,运用挖奇点法,分别以,为圆心作互不相交的小圆,且,包含在内由柯西积分公式和高阶导数公式有,例计算积分解被积函数在区域内有,两个奇点,运用挖奇点法,分别以,为圆心作互不相交的小圆,且,包含在内由柯西积分公式和高阶导数公式有,若被积函数在周线或复周线所范围的区域内除有限个奇点外都解析,但由以上方法都不易解出时,则可考虑用留数定理计算复积分柯西留数定理在周线复周线所围区域内除外解析,在闭域上除外连续