间中的运用算子在其他空间中的运用算子的特殊形式及应用总结致谢词参考文献浅谈算子的逼近速度摘要本文研究了算子的性质应用,给出了算子的可用条件介绍了逼近论的基本内容,在不同的空间范围内得到算子的性质以及逼近速度,用来近似地描述其他的函数对算子的特殊形式在逼近方面做出简要的介绍关键词算子求和法级数逼近速度算子基本概念及定理的引入算子的逼近速度是对算子逼近论的研究,利用算子构造些逼近函数,可以证明些重要的的定理,对于解决实变函数,数学分析中的些问题具有重要意义首先,我们引入与之相关的概念及定理,以便接下去做深入的探讨,实函数逼近的引入关于函数逼近论的研究,年德国数学家在研究用多项式来致逼近连续函数的问题时证明了条定理,这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上致地近似表示年研究了逼近函数类是次多项式时最佳逼近元的性质,建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理,为函数逼近论的发展奠定了基础在数学理论研究和实际的应用中,常常需要考虑用些简单的函数去逼近复杂函数的问题例如,对于定义在闭区间,上的连续函数,我们常常需要考虑代数多项式去逼近它,并且用数值作为多项式对函数的逼近程度把在,上的连续函数全体记作,若是,上的连续实函数,记其最大模为或,称为函数的范数定理若,,则对任意给定的正数,都有代数多项式满足不等式假如所考虑的函数是周期函数,而且周期是,那么就记这种连续函数的全体为,的范数是在周期情况下,相应的空间记作,此时的函数的范数是容易想到,由于周期性,用代数多项式逼近自然不见得最合适代替代数多项式,人们常用角多项式作为逼近的工具所谓角多项式是由角函数系做出的有限线性组合,我们称为阶角多项式,其中,是与无关的实数,且,不同时为零定理若,则对任意给定的正数,都有角多项式满足不等式定理和定理是在研究逼近论时得出的初步结论,为逼近论的发展奠定了基础,在之后多人对其进行了证明用代数多项式或角多项式逼近函数是逼近论中个十分重要的方面,但是,即使在空间中,也考虑用其他函数列的线性组合作为逼近工具般而言,给定列函数对于任函数,考虑用形如的广义多项式来逼近,其中为实数此时要考虑的问题,首先是对于任何函数,这种逼近是否可能,也就是说,随着的无限增大,是否可以选择恰当的系数,,使得逼近度倘若可能,那么如何去选择还有这种多项式中是否存在最佳的,即,使范数达到最小的多项式是否存在定理线性赋范空间的有限维子空间至少包含个点,使它到个固定点有最小的距离证明设为定理假设中的有限维子空间而为指定的点又设是中的任意点,则欲求之点位于,之内由于线性赋范空间中的每个有限维有界闭集是紧致集所以上述集合为紧致集设由下确界的定义,可以找到中个点列,使当时,根据的紧致性,可以假定该序列收敛于中的点,因为若有必要,可以从给定的序列中取出个具有此性质的子序列按照角不等式,,于是由于,因此,这样,定理得证又由定理,可以得到以下推论推论设,,则有使得,其中,为次数不大于的代数多项式全体推论设,则有使得,其中,为阶数不大于的角多项式全体我们对,,记,对,记,并称为的次最佳逼近代数多项式,为的次数不高于的代数多项式的最佳逼近同样地,称为的阶最佳逼近角多项式,为的阶数不高于的角多项式的最佳逼近显然,,,由定理知道,以上两序列都是收敛于零在年,建立如下定理说明了最佳逼近多项式的特征定理设,,则为的次最佳逼近多项式的充分必要条件是在,上有个点使得式中,定理设,,则对任整数,的次最佳逼近多项式是唯的定理定理设,,若有以及个点使得,,则,定理设,是个奇偶函数,则其所有最佳逼近多项式也是奇偶函数在周期连续函数空间内,我们看出任意不恒等于零的角多项式在,上至多有个零点事实上,利用公式,可以得到,其中,,令,则,式中是个次代数多项式,它最多只有个零点当角函数系构成了,上的线性无关组是,应用以上结果,我们有定理设,则有为的次最佳逼近角多项式的充分必要条件是在,上有个点使得式中,而且,最佳逼近角多项式是唯的定理设,若以及个点使得,,则算子的概念假如,等数与变数没有关系,那么阶角多项式所产生的般形式的角级数若是以为周期且在,上可积的函数,那么令按照,计算得到的和称为函数的傅里叶系数,以的傅里叶系数为系数的角级数称为的傅里叶级数,记作平均求和法是傅里叶级数的种线性求和方法设,,,则称为阶数傅里叶级数的如下线性平均,称为阶平均,相应的级数求和的方法称为求和,简记作,求和当时,对于连续函数,必致收敛于,由此可见求和的好处算子逼近的问题通过以上对算子的概念以及对逼近和最佳逼近的了解,我们接下来研究算子性质及应用算子的可用条件关于平均求和法的运用是有条件的ⅰ对于正整数对于数列,,,,,,当时,,假如,那么数列可用,平均法求和,且和是由斯多耳次定理可知,,是自然数求和法是具有正则性的ⅱ阶不属于正整数,,设当自然数时,当时,成立对于级数,设,那么,从中可以得到设,当极限式成立时,称或可用,求和法求和,且和为,记作,或者,当阶数增高到时,有如下性质定理当时,,含有,中,当确定而不确定时,可以用,平均法求和的充要条件已经在年为哈戴和利托尔伍德所获得,他们的结果,包含在以下定理之中定理可用平均法求和的充要条件是的平均函数在时具有连续性定理当时,关系含有,这里定理假如,那么当时,,引理用的平均法,假如级数可以求和,那么当时,级数,也可以求和定理是可以用求和的充分必要条件,是对于般的而言的,假如是有界的,那么可用平均法求和的充要条件大大的简化,我们有如下哈戴,利托尔伍德获得的定理定理在点的附近,假如是单方有界,这就是说,有如下的和,那么的充要条件是,当此条件成立时,,对于任何正数成立我们记,称为的次平均函数且是的次平均函数定理当对于成立时,,成立该定理为所证明,在之后又证明了,,含有在年,又扩充得到如下命题设,,则,当时,它的充要条件是又指出时,可用法求和的充要条件是极限对于任何个存在,算子对些连续函数的逼近问题以表示维欧几里得空间,以表示上的单位球面,其中如果,那么有球面调和展开,其中,是阶数为的球面调和空间的射影浅谈算子的逼近速度。,,其中,,,是盖根鲍尔多项式用表示空间的连续多项式,,是的最佳逼近的阶球面多项式设是个正数的单调序列,且,具有连续的模记,,其中,是模连续的函数对于,时,由得,阶数为的平均为,,,临界值,有着重要的意义下面,我们提出几个定理定理设是个正数的单调序列,且那么当时,有此处的表示若则存在绝对连续常项和使