1、“.....总是对不同类型的方程给出不同的解法能否有种普遍的方法能解各种类型的微分方程呢著名的美国数学史家克莱因在所著的古今......”。

2、“.....这门学科还是各种类型的鼓励技巧的汇编,然而寻求普遍解法的努力从十世纪就直没有停止过在其论文中指出凡是可用变量分离法的地方可以用积分因子法由此本文对教材中常见类型的阶常微分方程,包括可分离变量方程齐次方程阶线性微分方程贝努利方程等,讨论用积分因子法求解的般方法两个基本概念恰当方程求解方程,时,平常看待,将上述方程写为下述对称形式,有时会更方便些现在我们考虑比上述方程更般的对称形式的微分方程,注意在关于这种方程的求解问题中,既可视为自变量,又可视为自变量,这要根据具体情况使其方便而定若方程的左端恰好是个元函数,的全微分,即,,则称方程是恰当方程或全微分方程积分因子定义如果存在连续可微的函数,,使得为恰当微分方程,即存在函数,使则称,为方程......”。

3、“.....则,这时方程变为即由此即知方程存在只与有关的积分因子这里仅是的连续函数假如条件成立,则由即可求得方程的个积分因子为同理可求得方程存在只与有关的积分因子这里仅是的连续函数,从而可求方程有仅与有关的个积分因子为方程存在给定形式的积分因子的充要条件方程存在给定形式的积分因子,具有阶连续偏导数这里仅是的连续函数事实上,因故将代入,得即由此可知方程存在给定形式的积分因子,具有阶连续偏导数,这里仅是的连续函数假如成立......”。

4、“.....且故当时,方程,也就是相应与的恰当方程为两边积分,得为任意常数这就是方程的通解例试求齐次方程,的积分因子解当,时,方程,后改写为,方程的对称形式为方法直接利用例的结果令,则,代入,得,得将与加以比较即知的积分因子为于是,方程的积分因子为或者其中方法直接利用给定形式的积分因子公式由方程的形式特点易推知具有给定形式的积分因子,,且由公式及,有于是,方程的积分因子为,在这里,我们用上述两种方法求出齐次方程的两个不同的积分因子或,据此我们可顺便求出方程的通解......”。

5、“.....故方程相应于的恰当方程为两边积分,得为不等于零的常数故再由方程即知方程的通解为为任意常数其中由方法知方程的积分因子为,故方程相应于的恰当方程为即两边积分,得为任意常数于是,方程的通解为为任意常数由此易知由方程的两个不同积分因子求得的通解是完全相同的例试用积分因子法解线性方程解方程的对称形式是显然,方程存在只与有关的积分因子,且于是,方程相应于的恰当方程为,分别组合,得,两边积分,得为任意常数,故方程的通解为这与前面用常数变易法所求出的结果完全样利用本题的结果以及例与例求积分因子的方法容易求得贝努利方程,的积分因子为,从而相应的恰当方程为,即两边积分,得......”。

6、“.....最后得到方程的通解为且这与前面所求出的结果亦完全样到此为止,我们可以说凡是可分离变量方程和可分化为可分离变量方程,线性方程和可化为线性方程的方程,都可用积分因子法去求解因此积分因子法是求解阶方程的较为般的方法,只是有时并不定简捷由此,我们通常把分离变量法和积分因子法作为求解阶方程的基本方法较复杂方程的积分因子对于般形如的个较复杂的方程,往往不容易直接求得它的积分因子,但若能将它的左端分成几组,比如分成如下两组后,可分别求得这两组的积分因子和以及相应的恰当函数和则借助于,,常可求得整个方程的积分因子事实上,对于任意非零连续函数和,和都分别是方程的第组和第组的积分因子,由于,使则既是的第组的积分因子,又是的第组的积分因子......”。

7、“.....我们有这样的结果定理如果方程有积分因子,和相应的原函数即,则,也是方程的个积分因子,其中是任意个可微的非零函数证明由假设知,其中是的个原函数假设方程左端可以分成两组其中第组和第组各有积分因子和及相应的原函数和有定理,对任意可微函数这两个组可以分别有积分因子和为了找出两组公共的积分因子,我们需要寻求合适的可微函数,使得如果这样的,已经找到,那么就是原方程的积分因子运用找积分因子进而求解方程的方法,通常称为分组积分因子法下面我们举例说明求解方程的分组积分因子法求解实例例试用分组积分因子法求解方程解将方程的左端分组为两组后的等价方程为显然,第组的积分因子为,,且相应的恰当函数为,,而第组的积分因子为,相应的恰当函数为,,于是,若选取,则......”。

8、“.....则,故当时,原方程的积分因子为,,方程相应于,的恰当方程为,即,两边积分,得为任意常数,当时,方程仍成立故亦是方程的解于是,综上所述即知原方程的通解为为任意常数由上述讨论及本例可知般来说,运用分组积分因子法求解较复杂的对称方程时,有两个问题应注意全力解决其,关键在于将较复杂的对称形式的方程进行适当分组,使各组的积分因子与相应的恰当函数易于求出其,重难点在于适当选取和,使显然,在实际运用分组积分因子法求解较复杂的对称形式的方程时,上述需要注意全力解决的第个重要问题也是可以设法避免的,其作法是首先在分组后的各组中,选取组,求出这组的积分因子,及相应的恰当函数,然后从和出发,注意观察其他各组项的特点,最后再适当选取的非零连续函数,使成为整个原方程的积分因子例如,本题可如下解之首先......”。

9、“.....,相应的恰当函数为于是,方程可改写为其次,注意到第组含的项中,的次数是,系数是的个非零可微函数,使第组乘以后即成为的全微分了因此,最后可选择,为方程的积分因子,由此可同样求得方程的通解为显然,有时另外的其他组的积分因子不容易看出这时,也可同样从原方程分组后的各组中选择组,求出这组的积分因子及相应的恰当函数后,再从这组出发,利用给定形式的积分因子公式,通过计算可求得其他组也即整个新方程的积分因子例如本例可如下解之由于已知方程的第组的积分因子为,相应的恰当函数为所以方程可改写为显然,这时的第组亦即整个新房成应有给定形式的积分因子,,且由此,同样可立即求得方程的通解为最后,我们还要顺便指出方程亦可通过作变量变换,化为可分离变量方程求解,而且还可通过方程乘以待定积分因子常数......”。