1、“.....参考文献朱时数学分析札记贵州贵州省教育出版社，南京师范大学主编数学分析选论江苏江苏教育出版社，华东师范大学数学系数学分析上册第三版北京高等教育出版社，李锋杰，刘丙辰等关于函数的致连续问题烟台师范学院学报刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义第二版北京高等教育出版社，周家云，刘鸣，解际太数学分析的方法济南山东教育出版社，林远华对函数致连续性的几点讨论河池师专学报姜雄关于函数在任意区间上致连续与非致连续的条件讨论辽宁科技学院学报吴静函数致连续性的两点注记重庆职业技术学院学报华东师范大学数学系数学分析下册第三版北京高等教育出版社，瞿明清浅谈二元函数的致连续性滁州学院学报范新华判别函数致连续的几种方法常州工学院学报较之用函数致连续的定义来证明简单。元函数在任意区间上的致连续性对于元函数在任意区间上致连续与非致连续，有以下结论定理函数在区间上致连续,，只要，就有......”。

2、“.....，，使得,，只要，就有。又,，知，对上述存在有，从而对有，即。若不然，则必存在，虽然，但是。显然，但是。推出矛盾，故在致连续。注此定理主要用来判定函数非致连续。注利用定义证明函数在上非致连续的关键是确定，找出,使得，而要做到这点，对于些函数而言通常是比较困难的。但是，根据前面判定函数致连续的充要条件，易得函数在区间上非致连续的两个比较简单的充分条件。连续函数在区间,内非致连续的充分条件是和至少有个不存在。连续函数在区间非致连续的充分条件是在区间上存在两个数列，，使得，但。例证明函数在上非致连续。证明法，对......”。

3、“.....取，虽然有，但是。所以在上非致连续。现在利用判别法证明例。法二取,，则，但是。所以由判别法知在上非致连续。注利用这两个判别法证明函数在区间上非致连续的优点是易见的它不用直接确定找,满足，而只须观察和的存在性或找出两个数列和满足判别条件即可。利用上述两个判别法还可以证明以下题目函数在,上非致连续。函数在,上非致连续。函数在非致连续。函数在，上非致连续。提示取，定理若函数在区间上满足利普希茨条件，即存在常数，使得对,都有成立，则在区间上致连续。证明因为函数在区间上满足条件，即......”。

4、“.....有，于是对，取，只要，就有。故函数在区间上致连续。例证明函数在,上致连续。证明由于对,，使得，都有，即在,上满足条件。所以函数在,上致连续。注例若用函数致连续的定义证明，则较用定理证明繁琐。定理仅仅是函数在区间上致连续的充分非必要条件，如下例例证明在,上致连续但不满足条件。证明在,上连续，由定理在,上致连续。取显然，且有，，，。从而，对任意充分大的正整数，总存在使得，即。故在,上致连续，但在,上不满足条件。由著名的利普希茨条件得到启发，还可得推论设存在......”。

5、“.....，都有成立，且在区间上致连续，则在区间上有界闭区域上连续，则在上致连续。证明致密性定理假设在上不致连续，则,，使得,，但。令，在中总能找到相应的与，使得,，但。在有界闭区域中由致密性定理有，平面点列必有收敛子列，且。同时由,，得。最后，由，有。令，由二元函数在的连续性及数列极限的保不等式性，得，从而推出矛盾。故在上致连续。证明二有限覆盖定理由在上连续，则，使得，有。考察开区域，显然是的个开覆盖。由有限覆盖定理，存在的个有限开区域覆盖了。记，对,，则,必属于中开区域。设......”。

6、“.....即,，此时有,。故由式，同时有，成立，从而。所以在上致连续。注定理中的有界闭区域可改为有界闭集，证明过程无原则性变化。二元函数在有界开区域上致连续的致连续性定理二元函数在有界开区域上在上连续且,存在其中表的边界。证明二元函数在有界开区域上致连续，则必然在上连续，下面证明，存在。由二元函数在有界开区域上致连续，则,，当,时，就有。对则。任取，则，且。于是对上述当,时，有,，从而。由柯西收敛准则知存在。若,且，则由有与都存在。于是，对上述使得当时，有,且,，从而当时......”。

7、“.....。所以，即。结合，由归结原则得,存在。令其中且则对表示的闭包，有或。当时，由为开区域知，当时。因为在连续，所以，故在连续。当时，有，其中为中趋于的点列。对中任趋于的点列，由存在，有。由归结原则知，所以在连续。综上所述，在上连续，从而致连续。二元函数在区域上的致连续性定理二元函数在区域上致连续对当,时，就有。证明由函数在区域上致连续，则就有。任取,，使，则对上述当时，有,，从而有，即是。假设函数在区域上不致连续，则总......”。

8、“.....使得，从而有。致连续。证明由在区间上致连续，则只要，就有，于是，对上述，，只要，就有。故在区间上致连续。定理函数在区间上致连续当时有。证明由函数在上致连续，则,，使得当,，且时，有，于是，当时，令，只要，就有，从而。所以。由,，当时，有，则,，使得当时，有，从而有。所以函数在上致连续。例讨论在,上致连续性。解在,上连续，设当时，设，则，，且......”。

9、“.....上致连续。当时，，且。所以在,上致连续。由可得，在,上致连续。注定理提供了个直接观察致连续的方法，即在图象上最陡的地方，若，有，则致连续若在处无限变陡，则非致连续。综上所述，元函数致连续的判定，是由函数所满足的条件或所定义的范围所决定的，上述定理给出几种情况下函数致连续的判定但不全面，我们还可以进行更加深入的讨论和研究。二元函数致连续性的判定及应用二元函数致连续的概念及两个重要定理定义设为定义在区域上的二元函数，它或者是的聚点，或者是的孤立点。若即对,，使得当,时，有，则称函数关于区域在点连续。若二元函数在区域上任意点都连续，则称在区域上连续。定义函数在区域上，如果对，仅与有关，当,且,时，有，则称函数在上致连续。若，对使得......”。