1、极限.设是个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在个正整数，当时,都有,我们就称是数列的极限.记为.例按定义证明!.解令,则让即可,存在,当时,不等式!成立,所以!.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子原分母中随或增大最快的项除分子分母,使恒等变形后的分子分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例求,其中,.解分子。

2、解本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取因而求得.利用两个准则求极限函数极限的迫敛性夹逼法则若正整数,当时，有且则有利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。例求的极限解因为单调递减，所以存在最大项和最小项则又因为单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例证明下列数列的极限存在，并求极限。。

3、内有界性质保序性设,性质迫敛性设，且在内有，则.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二函数极限的计算及多种求法极限直是数学分析中的个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。洛必达法则黎曼引理是针对些特殊的数列而言的。还有些比较常用的方法，在本文中都列举了。.定义法利用数列极限的定义求出数列。

4、而,,,.故有注由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握些常用的等价无穷小量，如由于，故有.,又由于故有，。另注在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有，,，而推出的则得到的结果是错误的。小结在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括如函数在点连续，则及若且在点连续，则例求的极限解由于及函数在处连续，故.利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解些函数的极限有简化求解过程的作用。例求。

5、意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。参考文献郝梅求函数极限的方法.福建教育学校学报.刘小军高等数学解题方法.云南广播电视大学理工学院学报刘书田高等数学.北京大学出版社.陈璋朱学炎等.数学分析.复旦大学数学系.高等教育出版社.郝涌卢士堂等.数学考研精解.华中理工大学出版社.外文摘要.,存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是数列的极限。函数极限标准定义设函数,大于正数时有定义，若存在常数，对于任意，总存在正整数，使得当时，成立，那么称是函数在无穷大处的极限。设函数在处的去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意，总存在正数，使得当时，成立，那么称是函数在处的极限。函数极限具有的性质性质唯性如果存在，则必定唯性质局部有界性若存在，则在的空心邻。

6、分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,,原式.利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例求的极限。解对任意正整数,显然有,而,,由夹逼性定理得乘有界变量仍然是无穷小量,这方法在求极限时常常用到再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是个无穷小量与所有其他量相乘或相除时,这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。例求的值解因为是无穷小量，而是有界变量，所以还是无穷小量，即.利用变量替。

7、证明从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为,所以,.得.因为前面证明是单调增加的。两端除以得因为则,从而即是有界的。根据定理有极限，而且极限唯。令则则.因为解方程得所以.利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限例求!解设!则!!由比值判别法知收敛，由必要条件知!.利用单侧极限求极限形如求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋于的极限求含取整函数的函数极限分段函数在分段点处的极限含偶次方根。

8、的极限解由..利用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。般常用的方法是换元法和配指数法。例求极限说明第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤先凑出，再凑，最后凑指数部分。解.利迫敛性来求极限设,且在,内有,则例求的极限解.且由迫敛性知做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收。

9、函数以及或的函数，趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例求在的左右极限解总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用种方法，对具体题目要注。

10、需要利用有关的不等式或实数的些性质。例设，对，定义。证明且时，若为任意的正数。置于的递推公式中，给出，假设，则当时，解对任意的,，而且，因为推得，因此，序列是单调递增且有界，它的极限存在，设为，从递推公式中得到解得，即。因为且对任意的，，可以在上作归纳证明，对任意的，。由知，所以序列是单调递增的，因而极限存在，借助递推公式可求的其极限为。.利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量，记作..定理设函数在内有定义，且有..若则.若则证明可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求些函数的极限例求。

11、于同个极限。.用洛必达法则求极限洛必达法则为假设当自变量趋近于定值或无穷大时，函数和满足和的极限都是或都是无穷大和都可导，且的导数不为存在或是无穷大，则极限也定存在，且等于，即。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例求解是待定型注运用洛比达法则应注意以下几点要注意条件，也即是说，在没有化为,时不可求导。应用洛必达法则，要分别的求分子分母的导数，而不是求整个分式的导数。要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。.利用定积分求极限设函数在区间,上连续，将区间,分成个子区间.在每个子区,任取点,，作和式见右下图。

12、求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。例已知,试证证明令,则时于是易知当时第二三项趋于零，现证第四项极限亦为零。事实上，因当时，故有界，即，使得。故.利用递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限，也是种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在的前提下，根据极限的唯性，来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的。

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