1、“.....以简化计算过程更多的计算方法与技巧有待于我们今后做进步的研究与探索参考文献刘玉涟数学分析讲义高等教育出版社年第五版李玲对称性在二重积分中的应用黄山学院学报年第卷第期熊明用元素法把二重积分直接化为单积分高等数学研究年第卷第期韩红伟分部积分法在二重积分中的应用时代教育年第期孙幸荣二重积分的分部积分法绵阳师范学院学报年第卷第期于是有此题是应用极坐标换元法求解的应用函数的对称性求二重积分定理如果积分区域关于轴对称，被积函数,是关于的偶函数，是的位于轴右侧的部分，则有如果积分区域关于轴对称，被积函数,是关于的偶函数，是的位于轴上侧的部分，则有证明由于关于轴对称，不妨设,轴将区域分为和，则由二重积分对区域的可加性，得......”。

2、“.....作换元，即令,，则面的区域对应面上的区域，如图所示又因为,是关于的偶函数，于是可得，将上式带入式得用完全类似的方法可证明定理的第二部分定理如果积分区域关于轴轴都对称，被积函数关于都是偶函数，是中第象限的部分，则证明由于关于轴对称，不妨设为的位于轴右侧部分，又因为,是关于的偶函数，由定理得由条件知又关于轴对称，若是的位于轴上侧的部分，且因被积函数是关于的偶函数，由定理的第二部分得由上面式可得定理如果积分区域关于轴或轴对称，被积函数是关于或的奇函数，则,证明由定理的证明过程得将上式代入式得......”。

3、“.....那么所得立体体积为，因此有,即推论设与其偏导数在区域上连续，,为定义在,上的可微函数，且，则证明由定理知,，令,即,则有推论设与其偏导数在区域上连续，,为定义在,上的可微函数......”。

4、“.....其中区域是由,与所围成第象限的图形解如果先对积分，后对积分，由分部积分法可得所以,于是例计算二重积分,是由直线及抛物线围成的区域解对于型区域得显然，由上式易求出对于型区域得若用般方法，想要求解非常困难，若用分部积分法，则易得结果所以用分部积分法可得，令,，则变为，所以有例计算二重积分，其中是平面以,为顶点的三角形区域，是在第象限的部分如图所示解如图所示，作辅助线......”。

5、“.....且为关于的奇函数，故又因为,而区域关于轴对称，为关于的奇函数，故,为关于的偶函数，故因此用分部积分法求二重积分分部积分公式由两个函数乘积的求导公式得到，主要用于被奇函数是两个函数乘积时的积分求法，通常根据被积函数类型按次序反对幂指三作为，其他的凑成，实现积分的转移。当被积函数仅类函数，且被积函数的原函数不易找到，般也用此方法。定理设,是在,上的连续可微函数，,为定义在,上的可微函数如果在区域上有连续可微函数,满足,则证明因为在区域上连续可微，为定义在上的可微函数，由含参变量累次积分的连续性可微性可得......”。

6、“.....而，即类似地，若,在闭矩形域,可积，且定积分存在，则累次积分,，也存在，且也可将累次积分,与,分别记为,和,定义设函数,在闭区间,连续函数,在闭区间,连续，则区域,和,分别称为型区域和型区域如下图和所示定理设有界闭区域是型区域，若函数,在可积，且,......”。

7、“.....存在，则累次积分,也存在，且利用极坐标计算二重积分公式例计算二重积分，其中,解被积函数在连续，则有例计算二重积分，其中是由直线,和双曲线所围成，既是型区域又是型区域，如图所示解先对积分，后对积分将投影在轴上，得闭区间,,,关于积分，在内的积分限是到，然后在投影区间,上关于积分，即先对积分，后对积分因为的左侧边界不是由个解析式给出，而是由两个解析式和给出的，所以必须将图所示的区域分成两个区域与，分别在其上求二重积分，然后再相加，即例设函数在,上连续，并设......”。

8、“.....由于些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算定理若函数,在有界闭区域连续，函数组,将平面上区域变换为平面上区域且函数组在上对与对存在连续偏导数，,,有,则,证明用任意分法将区域分成个小区域,设其面积分别是,于是，在上有对应的分法,它将对应地分成个小区域,设其面积分别是,根据定理可得,，有,,，在对应唯点,，而,于是，......”。

9、“.....，并且此函数组在致连续，所以当时，也有对取极限，有,例计算两条抛物线与和两条直线与所围成区域的面积,，如图所示解已知区域的面积设,这个函数将平面上的区域变换为平面上的区域，是由直线,和,所围成的矩形域由定理可知,本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。极坐标下的换元法例计算二重积分，其中,如图所示解由于区域由圆的部分组成，所以可以用极坐标变换来求解设,，则在极坐标下，被积函数为，积分区域为型区域则有计算二重积分的几种方法摘要二重积分的计算是数学分析中个重要的内容，其计算方法多样灵活......”。