论模型中是否存在着奇异点的自相似嵌套。图粒子碰撞势阱壁的次数与初始入射角的关系如图是粒子与势阱壁的碰撞次数与初始入射角的关系图，入射角以左侧竖直山东师范大学硕士毕业论文边为起始边，左上角为入射口在之间均匀分布，间隔为,其中为入射角的选取个数，在此取。我们主要考虑介观体系的混沌与分形等的性质，因此具体碰撞次数不做统计，我们只取次。为了便于观察，在不影响定性分析的前提下，入射角范围选择，当时，可以看出线段比较稀疏，相邻入射角对应的次数不变或变化比较缓慢，因此体系是可积的周期的，不存在着分形和混沌。从开始，图中黑色区域变大，黑色区域是由于相邻的入射角对应的碰撞次数变化很大引起的，即随着奇异点个数的增加，混沌性增强。我们可以把黑色区域视为嵌套在维集合，中的个子集。我们选择将其展开观察奇异点的自相似性。因为只是观察奇异点，所以我们将奇异点处的碰撞次数设为，非奇异点的碰撞次数设为得到如图图奇异点展开图从上到下依次任意选取的角度为,，,,然后倍的展开图中黑色区域是奇异点区域，白色区域是非奇异点区域。可以看出图形存在着简单的相似，但不是精确的相似，是种统计意义上的相似，黑色区域被白色区域隔开，从上到下，黑色近似被白色区域相似的隔开。我们用分形维数来定量分析是否存在着分形。如果出现稳定的非零的分形维数则可证明存在分形，否则不存在分形。分形维数可以是分数值，也可以是整数值，并有多种定义和计算方法，如盒维数关联维数相似维数信息维数广义维数等。本节我们采用简化的盒计数法来计算分形维数，在,范围内均匀选取入射角,个数为。奇异点的个数定义为，因为奇异点可能，如图就是我们做出的分形维数图像。山东师范大学硕士学位论文存在着无限嵌套的自相似结构，因此对于不同的会得到相应的奇异点数。分形维数的计算公式为式中当趋向无穷时，计算得到的结果就是分形维数。在本节我们所选的体系中，取时分形维数趋向稳定，在图像中可以看作是相对于的斜率图分形维数在图中我们计算了图中对应的分形维数。当体系是周期的系统时，粒子逃逸前的碰撞次数受入射角的影响较小，不存在奇异点，分形维数应为。从图中可以看出，等于时，随着增加，趋于当体系变为混沌体系时，碰撞次数受入射角的影响大，奇异点的个数随着混沌性的增加而增加，即对应的分形维数增加。从图中也可以看出不等于时，我们得到具有三个不同斜率,的函数图像，斜率的大小等于对应体系的分形维数。每条曲线斜率不变说明体系存在着奇异点的自相似嵌套，即存在分形结构，随着计算精度提高，奇异点会以定比例不断增多，同时会有新的片段不断出现。分形维数即斜率随的增大而增大，说明体系的动力学行为周期性减弱，混沌性增大，这与之前的定性分析完全吻合。结论山东师范大学硕士毕业论文本节我们选取四分之量子弹子球为理论模型，从经典与量子两方面研究了点粒子在这个介观弹子球体系的混沌性质。用定态展开法分析的体系混沌性与经典轨迹分析的混沌性符合较好。另外本节选用几何方法计算了粒子与弹子球体系的碰撞次数，并从数值角度定性分析了其中的混沌性质，随着门电压的增大，混沌性增强，而且将其展开呈现出相似性，另外我们利用简化的盒计数法计算了分形维数。得到的计算结果都很好的反映了相应的理论分析。对称开口弹子球理论模型图是具有两个对称开口的开放弹子球模型,图中两个对称的开口都为出口，并且开口宽度我们用表示。模型的边长假设为,，圆形的黑色区域可看作实际器件中的门电压，半径为设为。这样，在这个开放的弹子球体系中开口宽度和门电压半径就成为了控制参量。我们假定在弹子球体系内部的势能为恒定值可视为零，而在弹子球壁势能为无穷大在满足定条件下，个点粒子可以与外边界处和内圆壁进行弹性碰撞，碰撞满足镜面反射，并在碰撞的两点间做直线运动。图理论模型粒子以角从图的顶端入射到弹子球体系内,在计算中，我们人为的设定当向左入射时设为正值，向右入射时为负值，从图中我们可以看出的取值在之间入射的粒子既可以与外壁碰撞，也可以与内圆相碰，如图就是在定的和下，当分别为和时，分别得到的镜面反射经典轨迹山东师范大学硕士学位论文图粒子经典运动轨迹由于外壁是对称光滑的正方形，如果只与外壁相碰，轨迹必然是规则的。当时，粒子就做这类运动,这类运动被称为类运动。当时，粒子不只与外壁碰撞，有时会与内圆发生碰撞，这种与内圆碰撞的运动被称为类运动由于与内圆相碰，粒子运动轨迹将变得杂乱。粒子在开放弹子球内部，经多次碰撞后可能从开口处逃逸,也可能束缚在体系内部，无法逃逸分形的数值分析图不同门电压下逃逸前碰撞次数随入射角的变化关系图利用几何关系给出了在定的下,入射角和逃逸轨迹碰撞次数的关系，横坐标为初始入射角，纵坐标为碰撞次数。由于只是观察它的混沌性，因此没有给出全部的碰撞次数，只是选取了次。从图中看出,黑色区域被白色区域间隔，形成个个的窗口。这些白色窗口是因为在相邻的入射角内粒子逃逸前与弹子球碰撞山东师范大学硕士毕业论文次数相同或相近行成的,在这些区域内粒子主要做类运动如果对出初始入射角的变化，碰撞次数反应剧烈，即使是很小的改变，也导致碰撞次数变化超过点的限制，则会形成黑色区域,在这些区域内既有类运动也有类运动。在黑色区域碰撞次数剧烈变化，即碰撞次数与初始入射角关系密切，这就是所谓的混沌。从图中，我们可以看出在时,出现了大量的窗口，这是因为此时的弹子球边界是光滑且对称的正方形，初始入射角对影响不大,碰撞次数与受初始条件的影响很小，因此对应的动力学是规则的当大于时,出现大量的黑色区域，这是因为随着门电压的出现，弹子球边界不再是对称的，粒子与内圆相碰，我们无法判断它的落脚点，导致碰撞次数受初始入射角影响巨大，而且随着的增大，黑色区域越来越多。我们把这种碰撞次数变化剧烈的初始定义为奇异点这些奇异点的集合就是混沌吸引子，可以视为嵌套在维集合，中的个子集。图不同开口宽度门电压下逃逸前碰撞次数随入射角的变化关系图为定的下，入射角和逃逸轨迹碰撞次数的关系。由于我们所选的体系是开放的体系，粒子最终是从开口逃逸，因此开口是影响弹子球体系的个重要因素。当开口较小时，粒子逃逸的概率较小，很容易被束缚在弹子球内部，粒子与弹子球的碰撞次数比较容易受到初始条件的影响，混沌性较强。当开口较大时，粒子逃逸的概率大，粒子与弹子球的碰撞次数不容易受到初始条件的影响。从图中可以看出，在时，由于开口较小，所以图中黑色区域较大，混沌性较强，随着开口宽度的增加，白色的窗口增多，黑色的区域减小我们选取,的碰撞次数图像按照定的倍数展开，观察它们的自相山东师范大学硕士学位论文似性图奇异点的自相似要研究分形，必然要研究它的相似性，相似性在定的标度内般就好，超过这个标度，就不存在着相似了。图，我们分别选取,，,，,,然后将这些角度分别倍的展开。可以看得出来，虽然所选取的角度不同,但前三个图在相似的标度内，因此基本致，但不是完全绝对的相似，是种统计意义上的相似。第四个图由于所展开的角度范围较小超出了分形的标度，虽然存在着定的对应，但相似性不是很好。将，范围内均匀选取个入射角，即在这个范围内均匀选取个盒子，其中奇异点的个数定义为，利用分形维数的计算公式趋向无穷时，计算结果即为分形维数，我们在这里取。由于和都是可控制参量，因此计算出来分形维数应该和这两个参量相关。山东师范大学硕士毕业论文图不同门电压对应的分形维数图为在定的开口宽度下，不同的门电压对应的分形维数，前面已经分析出，在开口宽度定的情况下，随着门电压的增大，体系的混沌性增强，奇，高等教育出版社，徐学友，张延惠，黄发忠，林圣路，杜孟利，二维椭圆量子台球中的谱分析,物理学报,,,,,,,,徐学友,李红云,王树宝,等正方体量子台球的半径典分析原子与分子物理学报,傅怀梁,戴俊,陈贺胜,接有导管的开口运动场台球系统,扬州大学学报自然科学版,,,,,,,,,,,,,,,,ı,,山东师范大学硕士学位论文,,,郭文豪，徐学友，赵霞，于永丽，林圣路，二维台球中的量子与经典对应，山东师范大学学报自然科学版,殷志云梅炽混沌理论与分形理论在热工过程中的应用,常德师范学院学报自然科学版郝柏林分岔混沌奇怪吸引子湍流及其他关于确定论系统中的内在随机性,物理学进展,,,,,李永平,邓善红,高嵩,林圣路偏心环形开放台球中粒子逃逸动力学的分形性质,原子与分子物理学报,,,,,山东师范大学硕士毕业论文点的个数增大，因此分形维数增大。从图中可以看出，当等于时,分形维数不是稳定的数值，随着增加，的数值减小,当趋向于无穷时的数值为，即从长远角度看，不存在着奇异点。当不等于时，可以得到四条直线，斜率分别为，,,,，即随着的增加，嵌套的奇异点按定的比例增加。图的左上侧为随参数的变化情况，从图中可以看出，随着的变化并非平滑的增加或减小,而是存在定的震荡,因此在开口定的情况下,体系由于门电压产生的混沌为软混沌。图不同开口宽度对应的分形维数山东师范大学硕士学位论文图是在门电压定时，不同的开口宽度对应的分形维数。前面已经分析过，在门电压定的情况下，开口较小时，混沌性较强，奇异点的个数较多开口较大时，混沌性较小，奇异点的