对称,而是关于变量,也是关于变量的奇函数,所以从而,原式设分片光滑的闭曲面关于平面对称,法方向取外侧,而是上的连续函数,则,的偶函数为关于，若的奇函数为关于若其中为在平面上侧的部分例求,其中为锥面,为的朝下的单位法向量解原式由于既关于平面对称,也关于平面对称,而为的偶函数,聊城大学本科毕业论文为的偶函数,所以,原式以上介绍了对称性在微分定积分重积分曲线积分曲面积分中的应用,在应用对称性求积分时应该注意必须兼顾被积函数与积分区域两个方面,只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用对坐标的曲线积分与曲面积分,在利用对称性时,尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧,需慎重有些问题用轮换对称性也可得到简便的解答聊城大学本科毕业论文第五结束语对称思想是种重要的数学思想,利用对称关系解题也是常用的种解题技巧用对称性解题,不仅可以提高解题的速度,增大正确率更重要的是增强学生学习数学的兴趣,反映数学的内在美,提高学生数学素质,意义重大开发问题中的对称关系,往往能使问题得到简捷的解答本文初步讨论对称性及其在几何方程三角微积分中的应用,给出了各部分关于对称性的定理,并应用定理解题由于对称性普遍存在于数学各领域中且具有非常丰富的内容,因此,对称在数学研究中的重要作用,还有待于进步的挖掘开发推广利用,从以上内容可以看出,在求解多元函数的积分问题中,对称性的利用是极为有用的,自觉地注意到问题的对称性并巧妙地用它去解答问题,对于学好多元函数的积分学,从而更进步学好高等数学是十分重要的聊城大学本科毕业论文参考文献数学分析上下册华中师范大学数学系编武汉华中师范大学出版社高中数学必修北京人民教育出版社张开瑜对称美在数学中的应用中学数学教学,蔺守臣,蔡恒录对称思想及解题天水师专学报教育科学版朱根林,孟庆麟对称性原则在高等数学中的应用宿州学院学报,郭环对称性在积分中的应用山东轻工业学院学报,孔令华对称性在数学中的应用赣南师范学院学报胡晓明对称性在数学解题中的应用中国校外教育,于频对称性在微积分应用中的教学归纳重庆工学院学报,王伟平对称在高等数学解题中的应用济南交通高等专科学校学报,张振强对称性在二重积分计算中的应用南宁师范高等专科学校学报梁应仙,辛兰芬对称性在三重积分计算中的应用沈阳大学学报,文武对称性在重积分中的应用川东学刊自然科学版,刘维龙,邵益新曲线积分计算中奇偶性对称性的应用无锡教育学院学报于信,李秀珍对称性在多元函数积分中的应用山东商业职业技术学院学报,聊城大学本科毕业论文致谢首先我非常感谢刘利英老师在我的论文创作期间,对我的耐心指导并帮我及时纠正了论文的些不足之处,给我提出了宝贵的意见,使我在写本文的过程中不断的改进,为论文的成功完成奠定了基础对于本论题的完成,老师花费了不少心血,她丰富的授课内容拓宽了我的视野,严谨细致丝不苟的作风直是我工作学习中的榜样,她循循善诱的教导和不拘格的思路给予我无尽的启迪,让我顺利的完成这篇文章此外,在完成这篇文章的过程中,我还得到了许多同学的热心帮助在此,我对给予过我帮助的老师和同学表示衷心地感谢高等数学领域有相当重要的作用,我们可以根据所研究的数学对象本身的对称性解决问题,就微积分部分,许多问题用正规的方法解决十分麻烦,但根据函数奇偶性积分区域函数图象的对称性便可以简化运算对称性在求导中的应用定义若,中任意两个变元对换而函数不变,则称,是对称函数定理若,是偏导数存在的对称函数,则定理可以推广到高阶偏导数的情况定理若函数,的偏导数存在,且,则定义如果函数在轮换换,换,换下不变,则称为三元轮换对称函数定理若是个三元轮换对称函数,则它对任意变元所得的阶偏导数的结果都可以经轮换直接转换为其他变元的阶偏导数例设,求,聊城大学本科毕业论文解由于函数对于,具有对称性,且故,有些函数在对换变量后与原来函数差别很小如仅差个负号,我们称之为潜在对称性函数潜在对称性函数的求导,对具备潜在对称性的函数,视具体情况简化求导例设,,求,分析因为,所以,不具有对称性但考虑到仅差个负号,于是当存在时可见,将中,互换后添负号可得到也可用类似方法得到二阶导数对称性在积分中的应用对称性在定积分中的应用定理设函数在,上连续,则,为奇函数，若为偶函数若如果我们放宽条件,只要求积分区间对称,则可将定理推广到定理设,在,上连续，则为奇函数为偶函数聊城大学本科毕业论文定理若存在,则,为奇函数，为偶函数定理设,,则,例求积分解又的面积为,所以在进行二重积分计算时,善于观察被积函数和积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称性方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分问题的解答大大简化定理设在有界闭区域上连续,若关于坐标面对称,对于任意,则,时当时当其中,若关于坐标面对称,对于任意,则,时当时当其中,若关于坐标面对称,对于任意,则,时当时当其中,例计算三重积分,其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体解积分区域关于面对称,被积函数是的奇函数,所以聊城大学本科毕业论文例计算其中是由球面所围成的空间闭区域解因为积分区域关于平面对称,故有,所以因为区域关于平面对称且函数是相应于的奇函数,又也关于平面对称且函数是相应于的奇函数,于是有例算,其中,解因为关于坐标面,坐标面对称,由定理得重积分的积分区域比较复杂,在运用对称性时,必须兼顾被积函数和积分区域两个方面对称性在曲线积分中的应用曲线积分是定积分的推广,它与在对称区间上的奇偶函数定积分有类似的性质定理设,在光滑有界曲线弧上连续,若关于轴对称,则时当时当聊城大学本科毕业论文其中若关于轴对称,因为为偶函数，所以为奇函数，从而,令,则例计算解例求解令,则原式聊城大学本科毕业论文例计算解因积分区间关于原点对称,可用公式,于是,原式对称性在重积分中的应用关于对称性在重积分中有如下定理定理设,在有界闭区域上连续,若关于轴对称,对于任意则时当时当其中若关于轴对称,对于任意则时当时当其中例计算解,是关于的偶函数,积分区域关于轴对称,由对称性聊城大学本科毕业论文得到例计算,其中为矩形,解容易看出积分中,对称,有例计算,解积分中,对称,由对称性可知例证明不等式其中是正方形域,证因为积分区域关于直线对称,所以,从而有聊城大学本科毕业论文因为,所以从而聊城大学本科毕业论文浅谈对称性在数学中的应用第章引言作为人类认知世界的结晶,对称性与人类的文明历史样久远,它普适于人类生活的各个方面我们的先人首先从认识自然界的形象对称开始,如树叶的左右对称月圆时的中轴对称等,并把这种对称外化为人工自然当中如此,对称性的触角自古代开始就向自然科学中延伸著名的古希腊数学家欧几里德在其几何原本中就研究几何图形的对称性近代的数学还进步创立了关于对称性的数学理论群论对称是数学美的种重要表现形式,它不仅给我们以美感,更重要的它是种思想方法,它既是思考问题的出发点,又是探索解题思路的精良武器,在简化解题过程进行数学命题推广等方面也具有独特的作用,用对称性学习有关数学知识,可起到事半功倍的效果本文主要介绍了利用对称性求解初等数学中的几何方程等问题以及利用对称性求解高等数学中的各种积分问题的基本解题思路与方法,重点研究了对称性在重积分中的应用第二章研究对称性的意义对称,在现代汉语词典中解释为图形或物体对个点直线或平面而言,在大小形状和排列上具有对应关系数学中的对称主要有几何对称和代数对称几何对称是种位置对称,从变换的角度而言,平面图形有轴对称中心对称和平移对称三种对称形式,代数对称通常有二元对称和多元轮换对称共扼对偶聊城大学本科毕业论文配对也可看作是种广义的对称对偶是种深层次的对称,其对称性不表现在形状上,而表现在种关系上对称的概念在数学中有广泛而重要的应用对于元函数而言对称通常表现为奇偶函数,其图象关于原点轴对称等几何中的对称主要是轴对称和中心对称轴对称任对对应点的连线段被对称轴垂直平分中心对称任对对应点的连线段过对称中心,且被中心平分,几何中的对称性是极为普遍的,并有相对的固定规律在求解高等数学的些问题时,利用对称性往往能简化解题过程如果能在分析问题处理问题时有意识地利用事物的对称性,并使人们的思维过程与之相适应,不但可以更好的把握事物的本质,还可以使思维和推理过程更简洁,更快地打开思路,并能快捷地解决问题第三章对称性在初等数学中的应用对称性在初等数学中有着广泛的应用,在中学数学中常有对称现象,既有几何中的轴对称中心对称等空间对称,又有代数中的周期节奏和旋律的时间对称在学习过程中,挖掘出数学问题中的关系结构的和谐性与对称性,能简化运算,优化思路下面谈谈对称在中学数学中的具体运用对称性在几何中的应用在几何方面,对称性较为直观,通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象球圆双曲线抛物线等的对称性是很直观的,利用它们的对称性可以解决许几何问题例如图,个圆柱被个平面所截,截面椭圆的长轴长为,短轴长为,被截后的几何体最短母线长为,求这个几何体的体积聊城大学本科毕业论文分析该几何体既不是圆柱，也不是圆台,更不是圆锥,我们直接计算其体积是不行的利用对称原理,在其上面补个完全相同的几何体,成为个完整的圆柱解由条件,圆柱的底面直径为截面椭圆的短轴长,又长轴长为,所以补