,,,,不能述说，因此我们集中讨论单阶系统。图基于四种形式变化的队列系统到来和服务的形式等候队列是顾客到来的随机性和服务方式多样化的直接结果。它们的发生是随机的，顾客到来的高度不确定性以及服务要求的多样化导致系统临时超载。很多情况下，可变性可由用分布理论描述。实际上，常用假设模型来分析，顾客的到达率可以用泊松分布描述。服务时间可以用消极指数来描述。图说明了这些分布泊松分布可以相当好地描述每个单位时间顾客到来的数量即个小时。图说明了泊松分布是如何描述顾客到来情况即事故发生。或许以三天情况为研究时期。个服务台,种服务形式个服务台，多种服务形式多个服务台，种服务形式多个服务台多种服务形式附件有时，到来顾客或个，有时个或个，甚至有些有时无人。消极指数能很好地描述顾客服务时间即事故经过时间。图用消极指数来说明图所出现顾客所需要的服务时间。注意到些服务时间是十分之短接近，同时有些服务时间十分长。这就是消极指数的特征。当顾客成群地到来或当服务时间十分长时，等候队列经常会发生。要是同时出现上述两种情况，等候队列就很可能会发生。例如图在第天最多顾客时达个。从图我们可以知道，第名顾客的到达时间恰好是十点后点点，同时第名和第名的到达时间就在其前点点。因此第名顾客要等待是很可能发生的。个类似的情况，第三天最后发生在最后三名顾客身上的情况第名顾客要求很长的服务时间图，而且在其后两名顾客到来的时间与之很接近图，第三天，这样会导致等候队列的形成。十分有意义的是，泊松分布与消极指数方式不同但都提供同样的信息。也就是说，要是服务时间用指数描述那服务率就能用泊松描述。同样地，要是顾客到达率是泊松分布描述，那服务要求的间隔时间即两名顾客到达的时间间隔就是指数描述。例如如果个服务系统每小时能服务名顾客，平均每名顾客的服务时间为分钟上，并且顾客到达率个小时，那么两名顾客到来的间隔时间为分钟。模型的描述般用到达和服务率为描述对象，用泊松分布来描述。同样地，顾客到达率与服务时间用指数来描述。这些因素与实际情况核对是很重要的。实际情况信息是通过数据收集，为了完成这目标通常利用卡方测试。有关卡方测试的理论在很多基础统计的课本都有描述，这方面的内容超出此书的内容。故不在此详说。研究表明，这些假定能较为准确地描述顾客的到来，但对于服务时间很难描述。当假定条件得到的情况不满意时，可以建立个更合适的模型，寻找现有的通常比较复杂的模型，或者利用计算机仿真。这些选择都比现行的效果会更好，但同时成本会更高。相关频率泊松分布比率每单元顾客时间图泊松分布与消极指数分布描述图顾客到来及服务时间泊松分布时间相关频率时间个顾客第天第二天第三天每天到来的总人数顾客到达记录时间时间第天的顾客第二天的顾客第三天的顾客时间服务时间附件队列制度队列制度提供了服务顾客的方式，所有除了特殊的个别情况的服务系统，提供服务形式都是先到先得。这个规定是共同的，如在银行商店电影院餐馆四个位的停车场注册地方等等。不遵从先到先接受服务规则的情况有医院的急诊室企业的紧急订单紧急主要的工作等。在这些或类似这些的情况，顾客花费的等候成本不同，那些高费用即紧急事件会首先接受服务，尽管其他顾客先到。系统性能措施当要评估现有的或要建立的系统时，管理人员般把注意点放在以下五项措施等待的平均数量，在线的或系统的。顾客等待的平均时间，在线的或系统的。系统利用率，即利用的百分比。服务水平与系统容量所支付的费用。些存在会导致等候的因素的到来。这些措施能显示系统的运行情况，它能反应系统繁忙情况而非空闲情况。表面上，操作者都想系统利用率达到百分之百。然而，正如图所显示的，当系统利用率提高的同时，等候时间以及等候队列的长度也会增长。实际上，当利用率接近，些费用就变得很大。在正常情况下，利用率达并不是个现实目标。即使它能达到，服务部门的运用并不不是最好他们有淡季的时候。因此，操作管理员应该设法使系统达到使等待的费用和容量成本减到最小。图系统利用率的提高伴随着在线等候顾客的数量增加或顾客平均服务时间增加队列模型无限来源有许多模型可供经理和分析员选择。这里讨论四种应用最广泛最被分析人员接受的基本模型。目的在于说明模型应用的方面，而不是所有方面。假设他们都有泊松到达率，并假设模型所对的系统是稳定工作的，即假设他们的平均到来顾客人数与服务率是稳定的。这四种基本模型是单渠道，服务时间呈指数变化单渠道，恒定的服务时间多渠道，服务时间呈指数变化在线等候的平均顾客数量系统利用率多渠道优先服务，服务时间呈指数变化为了更好地理解排队模型的用途，表格说明了些无限来源模型的参数。表无限来源的模型所涉及的参数符号描述顾客到达率服务率在线等候服务的顾客平均数量在系统等候服务的顾客平均数量系统利用率顾客在线等候的平均时间顾客在系统等候的平均时间服务时间个单元在系统的概率个单元在系统的概率服务的渠道等候顾客的最大限制数量基本关系所有无限来源的模型都有些基本关系。这些关系对获得期望值有很大的帮助。这些基本关系如下系统利用率反映需求与容量比率表示服务总量，表示服务率能得到服务的平均顾客数量平均顾客数量在队列等候服务的顾客数模型支持。通过建立表格或公式得到系统接受的顾客在线上等候与正在接受服务之和顾客等候平均时间在线等候的平均时间注用和分别代表同条件下的到来率和服务率即个小时或个分附件在系统等候的平均时间所有无限来源模型要求系统的利用率少于。这些模型仅适用于未超载的系统。在队列等候的顾客平均数量是个关键值，它是衡量系统其他因素的决定因素，如在系统的平均顾客数量在队列等候的平均时间在系统平均时间。因此值是解决问题时要决定的第个值。例子面包店，周日早上平均每小时有位顾客。到来顾客可用个表示的泊松分布来描述。每个店员平均四分钟服务名顾客，这个时间可以用表示分钟的指数分布来描述。到达数与服务率是什么计算每次服务的平均数量。假设在队列等候的顾客平均数量为个，计算在系统等候的平均数量即在队列等候的加上正接受服务的。顾客在队列等候的平均时间，顾客在系统等候的平均时间。当服务员分别为个个个时系统的利用率解决问题中已给出顾客的到来率，每小时有位顾客到来。改变下服务时间的形式转变成与时间率相配，即取倒数。每名顾客服务分钟每小时分钟,即服务率为每小时名店员可以服务名顾客个已知在队列等候的顾客数量个，则在系统等候的顾客数量个故顾客在线等候的平均时间小时个,即分钟顾客在系统等候的平均时间小时个,即分钟系统利用率当店员为人时，即利用率为当店员为人时，即利用率为当店员为人时，即利用率为因此当到来率恒定，而服务容量增大时，系统的利用率反而降低。,