1、“.....我们发现，使用生成函数的方法来求解比传统的方法容易得多生成函数法在常系数线性非齐次递推关系上的应用定义序列相邻的项间有如下关系其中是常数均为非负整数，我们称为序列的常系数线性非齐次递推关系使用生成函数法解常系数线性非齐次递推关系的基本思想是设序列的生成函数为，把关于的常系数线性非齐次递推关系代入的右端，得到的方程，解出的解再将其展成幂级数的形式，的系数就是我们所求例，其中,解因此例在个非常富有的国家，天国王想要奖赏他的个臣子，就问他想要什么这个臣子拿出张的棋盘，说他的要求并不高，第个格子放颗大麦粒，第二个格子放颗，第三个格子放颗第六十四格放颗，国王以为粮仓富足......”。

2、“.....其实并不是这样的现在让我们来计算下共需要多少颗大麦粒解设前个格子上的大麦粒数为，由题意可得且，则我们令为，的生成函数我们将代入上式右端，整理得可得我们可得这样还是比较抽象，我们假设每秒运送粒大麦粒，则需时间年，节的例子中所使用的求解方法可以推广到求解任意的常系数阶线性齐次或非齐次递推关系中即我们所使用的生成函数可以化为的形式，其中是次数小于的多项式，是常数项为的次多项式再利用部分分式的方法将其化为下述分式和的形式其中是实数，是常数，是正整数利用公式将其展开，合并同类项，就可得到幂级数的形式生成函数在整数分拆中的应用在这节中我们将讨论生成函数在整数分拆中的应用个相同对象的个分拆定义为把这些对象分成各种组合......”。

3、“.....就是把分解成若干个整数的组合，并且与其顺序无关当然会有许多不同的分拆方案，我们称所有这些拆分方案的数目为拆分数或分拆数例如正整数对应的分拆可以为，分拆数为下面我们来构造整数分拆的生成函数模型我们可以把正整数分拆看作是，由个，个，个，，个所组成的和则由第三节的分析可得其生成函数为展开式中的系数为的所有分拆数正整数的各分布量都属于集合的生成函数在前面节中所讨论的例四就可以看作的各分布量属于集合的分拆数，由此而得的生成函数与之前所得的生成函数相同即例求满足......”。

4、“.....即把分解成满足的三个整数的和我们可得则中的系数为所求的整数解的个数由以上可知，分拆数的生成函数比较容易求的，但遗憾的是，目前还没有比较简单的方法来求解其生成函数的系数下面给出几个定理，在求解生成函数系数的过程中可能会有所帮助定理成不同整数的和，其拆分数等于被拆分成奇整数的和的拆分数证明设拆分成不同整数的拆分数的生成函数为定理不超过次的整数的和，其拆分数等于被拆分成不被所除尽的整数的和的拆分数定理成个正整数的和，其分拆数等于被分拆成最大数为的正整数的和的分拆数在组合数学中，我们可以把许多实际问题都看成是或些整数的特殊分拆数的问题利用上述方法......”。

5、“.....成果显著但在这些文献中，知识点不够系统全面本文汲取了他们的劳动成果，通过大量的比较研究，比较系统的给出了生成函数的基本理论及其应用模型本文将生成函数分为普通型生成函数和指数则型生成函数通过问题引入问题分析问题解决问题延伸的步骤分别系统的总结了普通型生成函数模型和指数型生成函数模型的应用范围比较全面的总结了生成函数法在递推关系和整数分拆中的应用其中，部分分式的方法有待于进步研究和讨论的组合数为，般的对于组合数有，我们知道是二项式中的系数，所以我们可以用多项式因子的乘积来表示题意信息，因子相乘后拆开的系数就是对应的所选的组合数，即可用生成函数来解决此题求,......”。

6、“.....中的问题我们可以表示为的形式，其中分别代表选取苹果，橘子，梨的个数，,,基于多项式，我们想要建立多项式因子的乘积，使得当这些因子乘开时，得到所有的乘积，拆开后所得多项式中的系数就是选出个水果的组合数，所以我们需要三个因子，每个因子应该包含的可能取值即，，我们所需的生成函数是上述三个因子的乘积，对于组合方案我们可用代表苹果，代表橘子，代表梨，展开多项式因子的乘积，使得，即的的可能的取值是我们所求的组合方案，如当时的组合方案为个苹果，个橘子，两个梨当水果的种类变多，数量变大时，就转化为下面中的问题求的组合数由例二可知，就是将问题转化为不定方程的非负整数解的问题例从元集中可重复的选取个元作组合，每个元至少取次，求作成的可重复的组合的个数解设所求组合的个数为......”。

7、“.....所以综合以上分析，我们可得下面定理定理从元集合,中取个元素的组合数为，若限定元素出现的次数的集合为，则该组合数序列的生成函数为例现有无限多的分，二分，五分，角，五角的硬币确定这些硬币凑成分钱的方法数的生成函数解设凑成分钱的方法数为，则是方程的非负整数解的个数即其生成函数为化简得在组合型分配问题中我们也可以使用这个数学模型，由此可得下面定理定理组合型分配问题把个相同的球放入个不同的盒子，，中，限定盒子的容量集合为，则其分配方案数的生成函数为在节的问题中我们有，其中,......”。

8、“.....盒子的容量集合分,我们称对重复选择问题进行建模的生成函数为普通型生成函数指数型生成函数模型问题的提出利用节中所提出的问题，求从这个水果中取个水果进行排列的排列数我们还是用代表苹果，代表橘子，代表梨，展开成多项式因子的乘积，即使，中，限定盒子的容量集合为，则其分配方案数的生成函数为,指数型生成函数系数的计算技巧指数型生成函数的基本展开式是,我们知道,他们有相似的形式，我们考虑用它来化简求解过程现在用来代替，可得,并且我们可得,利用公式可以使系数的计算过程变得相对简单对于例,所以展开式中......”。

9、“.....简化了解题过程例求解。解,求得生成函数在递推关系中的应用递推关系是计算数学的个重要工具，但其求解般比较困难本章介绍了生成函数法，使用它可以简单有效的解决这类问题中的些部分生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用定义序列相邻的项间有如下关系，，我们称为序列的常系数线性齐次递推关系使用生成函数法解常系数线性齐次递推关系的基本思想是把关于的常系数线性齐次递推关系转化为的生成函数，通常采取错位相减法，再利用代数方法求解，将其展成幂级数的形式，的系数就是我们所求例,解将相加得解得即例递推关系被称为斐波那契关系......”。