的式子，虽然让使用洛比达法则，但是其运算过程就变的很简单了请看下面的例题例解原式用罗比塔法则分离非零极限乘积因子并算出非零极限用罗比塔法则出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果怎么办用等价无穷小量代换因为所以，原式而得解例求解原式若使用洛必达法则可知原式继续运用洛必达法则会将上式越变越复杂，难于求出最后的结果而通过运用无穷小的等价替换，将分母替换成，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果，由此可以看出单单运用洛必达法则有时并不能达到较好的效果，适时地运用等价替换可以简化替换通过上面的两个例子可看到洛必达法则并不是万能的，也不定是最佳的，它的使用具有局限性，只要充分地掌握好等价无穷小量的条性质就不难求出正确的结论结论极限计算是微积分理论中的个重要内容，等价无穷小量代换又是极限运算中的个重要的方法利用等价无穷小量代换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换即在等价无穷小量的代换中，可以分子分母同时进行代换，也可以只对分子或分母进行代换当分子或分母为和式时，通常不能将和式中的项以等价无穷小量替换，而应将和式作为个整体个因子进行代换，即必须是整体代换当分子或分母为几个因子相乘积时，则可以只对其中些因子进行等价无穷小量代换简言之，只有因子才可以进行等价无穷小量替换参考文献同济大学应用数学系，主编高等数学第版高等教育出版社杨文泰，等价无穷小量代换定理的推广甘肃高师学报体现，顺利完成毕业论文同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里并向有关的作者表示谢意我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友，在毕业设计的这段时间里，你们给了我很多的启发，提出了很多宝贵的意见，对于你们帮助和支持，在此我表示深深地感谢,年月王斌用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨黔西南民族师专学报，华东师范大学数学系数学分析北京高等教育出版社，盛祥耀高等数学北京高等教育出版社，冯录祥关于等价无穷小量量代换的个注记伊犁师范学院学报，段丽凌，杨贺菊关于等价无穷小量替换的几点推广河北自学考试华东师范大学数学系数学分析上册第三版北京高等教育出版社，马振明，吕克噗微分习题类型分析兰州兰州大学出版社，，崔克俭，应用数学，北京中国农业出版社，张云霞高等数学教学山西财政税务专科学校学报，任治奇，梅胤胜数学分析渝西学院学报社会科学版，刘玉琏傅沛仁数学分析讲义北京人民教育出版社，，，，，，致谢走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已近尾声，两年多的努力与付出，随着本次论文的完成，将要划下完美的句号本论文设计在王晨老师的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择到具体的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着王老师的心血和汗水，在我的毕业设计期间，王老师为我提供了种种专业知识上的指导和些富于创造性的建议，王老师丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深受感动，没有这样的帮助和关怀和熏陶，我不会这么顺利的完成毕业设计在此向王晨老师表示深深的感谢和崇高的敬意,在临近毕业之际，我还要借此机会向在这两年半中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意，感谢他们两年半来的辛勤栽培不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得程中，及都是无穷小量若且存在且，则有若且存在且，则有若且存在且，则有证明因为又因为，故上式等于因为又因为，故上式等于要证成立，只需证，因为所以结论得证性质的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性，从而大大地简化了计算但要注意条件≠，≠的使用注意需要注意的是在运用无穷小替换解题时，等价无穷小量般只能在对积商的项做替换，和差的替换是不行的以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式，并对的不定式极限的求解作了简化，使其适用的函数类范围扩大，从而简化函数极限的运算过程，对不定式极限的求解有很大的意义等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用在冯录祥老师的关于等价无穷小量量代换的个注记王斌老师的用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨华东师范大学数学系的数学分析盛祥耀老师的高等数学马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析，以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的数学分析讲义中都有详细的分析与注解，在这部分我只是按照自己的需要从中选取内容，再加上自己筛选例题解答例题写出来的请看下面的内容求函数的极限在求极限中经常用到的等价无穷小量有，，，例求收敛，所以，收敛例研究的敛散性解而发散，发散从以上的例题可以看出，在级数敛散性的判别中，等价无穷小量发挥了重要的作用在很多题目中，我们需要综合运用罗比达法则等价无穷小量的性质泰勒级数等相关知识，才能达到简化运算的目的等价无穷小量的优势这部分的内容是我在听了王老师和郭老师的数学分析课以后，由于他们教学方法的鲜明对比而深受启发，在他们讲解数学分析其他部分的比较与分析时，我也希望自己能找到个他们没有整理过的知识点经过自己的努力完成对它的比较与分析，因此我选择了这部分内容请看下面的内容运用等价无穷小量求函数极限的优势例求解解法等价无穷小量替换由于等价于，等价于，则，由无穷小替换定理有解法二两个重要极限由于，，所以有解法三洛必达法则由此例可以发现，很多时候求解函数极限的方法多种多样其中包括极限的运算法则两个重要极限洛必达法则以及无穷小替换等等所以我们求解道题时要进行全方位多角度的思考，找出最适合最恰当的解题方法对上例的几种不同解法进行比较，我们很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速准确地求解些函数极限例求解法等价无穷小量替换由于当∞时，有，等价于等价于，则由无穷小替换定理有解法二洛必达法则我们知道通常碰到求解未定式极限的问题时，大家总是习惯使用洛必达法则但是由此例看求解上述极限时，很显然利用等价无穷小量替换更简单便捷另外，值得注意的是对本例在使用洛必达法则计算时，如果不把写到分母上，而是继续使用洛必达法则，就会出现循环计算，将永远得不到结果由此更能体现等价无穷小量替换的重要性同时本例还说明不仅是在极限存在时而且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷小量替换等价无穷小量在求函数极限过程中的优势，解当时，，原式例求解原式，此题也可用洛必达法则做，但不能用性质做所以，，不满足性质的条件，否则得出结论等价无穷小量在近似计算中的应用利用等价无穷小，在做近似计算，有时可以起到意想不到的效果，如例求的近似值解因为时，所以故的准确值，保留小数点后位可得为相对误差为这说明计算精度已经很高利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限例求极限解由于函数的分母中，因此只需将函数分子中的与分母中的和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示，即，，所以例由拉格朗日中值定理，对任意的，存在，，使得证明解因，，所以，根据题设所给条件有即，所以，以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算，能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用等价无穷小量在判断级数收敛中的应用在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的个应用比较审敛法的极限形式设和都是正项级数，如果或∞，且级数发散，则级数发散当时就是等价无穷小量由比较审敛法的极限形式知，与同敛散性，只要已知，中个的敛散性，就可以找到另个的敛散性例判定的敛散性解此时利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限等价无穷小量在判断级数收敛中的应用等价无穷小量的优势运用等价无穷小量求函数极限的优势等价无穷小量在求函数极限过程中的优势结论